Tеорема Дворецкого — утверждает, что каждое центрально-симметричное выпуклое множество достаточно высокой размерности имеет сечение, близкое к эллипсоиду .

Доказана Арье Дворецким в начале 1960-х годов как ответ на вопрос поставленный Александром Гротендиком . Альтернативное доказательство найдено Виталием Мильманом в 1970-х годах , оно послужило одной из отправных точек для развития принципа концентрации меры и .

Формулировка

Для любого натурального числа ${\displaystyle k}$ и каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое натуральное число ${\displaystyle K}$ , что если ${\displaystyle (X,\|{*}\|)}$ — нормированное пространство размерности ${\displaystyle K}$ , то существует подпространство ${\displaystyle E\subset X}$ размерности ${\displaystyle k}$ и положительная квадратичная форма ${\displaystyle Q}$ на ${\displaystyle E}$ , такая, что:

${\displaystyle \|x\|\leqslant {\sqrt {Q(x)}}\leqslant (1+\varepsilon )\cdot \|x\|}$

для любого ${\displaystyle x\in E}$ .

Примечания