H -пространство — обобщение понятия топологической группы определённого типа.

Определение

H-пространство - пара, состоящая из топологического пространства ${\displaystyle P}$ с отмеченной точкой и непрерывного отображения ${\displaystyle \mu :P\times P\rightarrow P}$ (называемого умножением ), для которого постоянное отображение в отмеченную точку ${\displaystyle c:P\longrightarrow P}$ служит гомотопической единицей (т.е. каждая из композиций

${\displaystyle P{\overset {(c,1)}{\rightarrow }}P\times P{\overset {\mu }{\rightarrow }}\quad {\text{и}}\quad P{\overset {(1,c)}{\rightarrow }}P\times P{\overset {\mu }{\rightarrow }}P}$

гомотопна тождественному отображению).

Примеры

• Каждая топологическая группа является H -пространством.
• Для произвольного топологического пространства ${\displaystyle X}$ пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}}$ всех непрерывных отображений ${\displaystyle X\to X}$ , гомотопных тождественному, является H -пространством.
  • При этом ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {H}}_{X}\times {\mathcal {H}}_{X}\to {\mathcal {H}}_{X}}$ можно определить как композицию ${\displaystyle \mu (f,g)=f\circ g}$ .

• Среди сфер , только ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$ , ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ , ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ и ${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}$ являются H -пространствами. При этом
  • Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди вещественных чисел , комплексных чисел , кватернионов и октонионов соответственно.
  • ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$ , ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ и ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ являются группами Ли , а ${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}$ — нет.

Свойства

• Фундаментальная группа H -пространства является абелевой .

См. также

• Топологическая группа
• Когомологии Александрова — Чеха
• Алгебра Хопфа

Ссылки

• Hatcher, Allen (2002), , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 . Section 3.C