Теорема Буземана о центральных сечениях — теорема выпуклой геометрии о свойствах площадей центральных сечений симметричного выпуклого тела .

Теорема была доказана Буземаном в 1949 году, она имеет приложения в финслеровой геометрии .

Формулировка

Предположим, ${\displaystyle K}$ — выпуклое симметричное тело в ${\displaystyle d}$ -мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Рассмотрим тело сечений ${\displaystyle K}$ , то есть тело ${\displaystyle L}$ , ограниченное гиперповерхностью, которая образована всеми векторами вида

${\displaystyle \mathop {S} (K\cap u^{\perp })\cdot u,}$

где ${\displaystyle u}$ — единичный вектор, ${\displaystyle u^{\perp }}$ — гиперплоскость , проходящая через начало координат и перпендикулярная ${\displaystyle u}$ , а ${\displaystyle \mathop {S} }$ — площадь, точнее ${\displaystyle (d-1)}$ -мерный объём.

Тогда тело ${\displaystyle L}$ выпукло.

Следствия

• В ${\displaystyle d}$ -мерном нормированном пространстве, область гиперплоскости минимизирует ${\displaystyle (d-1)}$ -мерную меру Хаусдорфа среди поверхностей с тем же краем.

Ссылки

• Busemann, Herbert. (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1949. — Vol. 35 . — P. 27—31 . — doi : . — . — PMC .
• Gardner, Richard J. The Brunn-Minkowski inequality (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) : journal. — 2002. — Vol. 39 , no. 3 . — P. 355—405 (electronic) . — doi : .