Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии , в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве .

Поток деформирует поверхность в нормальном направлении со скоростью, равной её средней кривизне. Например, сфера под действием потока сжимается в точку.

Уравнение

Однопараметрическое семейство поверхностей ${\displaystyle f_{t}\colon S\hookrightarrow M}$ является потоком средней кривизны, если

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(x)}{\partial t}}=H_{t}(x)\cdot n(x),}$

где ${\displaystyle H_{t}(x)}$ и ${\displaystyle n(x)}$ обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности ${\displaystyle f_{t}(S)}$ в точке ${\displaystyle f_{t}(x)}$ .

Свойства

• Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных .
  • В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра.
• Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны.
• Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
• Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба.
  • В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны .

См. также

• Укорачивающий поток — частный случай потока средней кривизны для кривых на плоскости.
• Поток Риччи — близкая конструкция для деформации римановых многообразий.

Применения

• Поток предоставляет естественную операцию сглаживания для гиперповерхностей. В частности, даёт аппроксимацию данной ${\displaystyle C^{2}}$ -гладкой гиперповерхности аналитическими.

Литература

• Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow , Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, vol. 57, Boston, MA: Birkhäuser, doi : , ISBN 0-8176-3243-3 , MR .
• Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow , Progress in Mathematics, vol. 290, Basel: Birkhäuser/Springer, doi : , ISBN 978-3-0348-0144-7 , MR .
• Lu, Conglin; Cao, Yan; Mumford, Davidd (2002), "Surface evolution under curvature flows", Journal of Visual Communication and Image Representation , 13 (1–2): 65—81, doi : . См., в частности, уравнения 3a и 3b.