Укорачивающий поток — процесс, изменяющий гладкую кривую на плоскости путём перемещения её точек перпендикулярно к кривой со скоростью, равной её кривизне .

Укорачивающий поток изучается в основном как простейший пример , в частности позволяет отработать технику для работы с потоком Риччи и с потоком средней кривизны .

Уравнение

Однопараметрическое семейство кривых ${\displaystyle \gamma _{t}}$ является решением укорачивающего потока, если для любого значения параметра ${\displaystyle \tau }$ имеем

${\displaystyle {\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t}}=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),}$

где ${\displaystyle \kappa _{t}(\tau )}$ — кривизна со знаком кривой ${\displaystyle \gamma _{t}}$ в точке ${\displaystyle \gamma _{t}(\tau )}$ и ${\displaystyle n_{t}(\tau )}$ — единичный вектор нормали к кривой ${\displaystyle \gamma _{t}}$ в точке ${\displaystyle \gamma _{t}(\tau )}$ .

Свойства

• Если начальная кривая простая и замкнутая, то она остаётся таковой под действием укорачивающего потока.
• Для простой замкнутой кривой ${\displaystyle \gamma _{0}}$ укорачивающий поток ${\displaystyle \gamma _{t}}$ определён на максимальном интервале ${\displaystyle t\in [0,T)}$ .
  • При ${\displaystyle t\to T}$ кривая ${\displaystyle \gamma _{t}}$ схлопывается в точку.
• Площадь ограниченная кривой уменьшается с постоянной скоростью.

  ${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .}$

  • В частности, момент схлопывания в точку полностью определён площадью, ограниченной кривой: ${\displaystyle T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}}$ .
• Если изначальная кривая не является выпуклой, то её максимальное абсолютное значение кривизны уменьшается монотонно, пока она не станет выпуклой.
• Для выпуклой кривой изопериметрическое соотношение убывает, и прежде чем пропасть в точке сингулярности, кривая стремится по форме к окружности.
• Две непересекающиеся простые гладкие замкнутые кривые остаются непересекающимися, пока одна из них не схлопнулась в точку.
• Окружность — единственная простая замкнутая кривая, которая сохраняет свою форму в потоке.
  • Некоторые кривые с самопересечениями , а также кривые бесконечной длины, сохраняют форму.

Приложения

• Укорачивающий поток на сфере даёт одно из доказательств задачи Арнольда о существования хотя бы четырёх точек перегиба у любой гладкой кривой, разрезающей сферу на равновеликие диски.

Примечания