Задача Буземана — Петти — вопрос выпуклой геометрии , сформулированный Буземаном и в 1956 году.

Правда ли, что симметричное выпуклое тело с бо́льшими центральными сечениями гиперплоскостями имеет бо́льший объём?

Ответ положительный в размерностях ${\displaystyle \leq 4}$ , и отрицательный в размерностях ${\displaystyle \geq 5}$ .

Задача знаменита тем, что в размерности ${\displaystyle 4}$ , был дан сначала (неправильный) отрицательный ответ, a через несколько лет положительный. При этом обе статьи были опубликованы одним и тем же автором в одном из самых престижных математических журналов, Annals of Mathematics .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K_{1}}$ и ${\displaystyle K_{2}}$ — выпуклые тела в ${\displaystyle n}$ -мерном евклидовом пространстве с общим центром симметрии такие, что

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{1}\cap A)\leq \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{2}\cap A)}$

для каждой гиперплоскости ${\displaystyle A}$ , проходящей через центр симметрии . Верно ли, что

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}\,K_{1}\leq \mathrm {Vol} _{n}\,K_{2}\ ?}$

История

• В размерности 2 задача тривиальна, ответ положительный.
• 1956 Буземан и Петти показали, что ответ будет положительным, если первое тело является шаром.
• 1975 Лармен и построили контрпример в размерностях ${\displaystyle \geq 12}$ .
• 1986, Кит Болл доказал, что взяв куб как первое тело и подходящий шар как второе, получаем контрпример в размерностях ${\displaystyle \geq 10}$ .
• 1988, Лютвак показал что ответ на задачу в данной размерности положителен тогда и только тогда, когда все симметричные выпуклые тела в этой размерности являются телами сечений .
• и Бурген независимо построили контрпримеры в размерностях ${\displaystyle \geq 7}$ .
• и Гарднер независимо построили контрпримеры в размерностях 5 и 6.
• 1994 Гарднер дал положительный ответ в размерности ${\displaystyle 3}$ .
• 1994 опубликовал работу (в Annals of Mathematics ), в которой в частности утверждал, что в размерности ${\displaystyle 4}$ ответ отрицательный.
• 1997 Александр Колдобский опроверг утверждение Гаоюн Чжана.
• 1999 После изучения, результатов Колдобского, Чжан быстро доказал, что на самом деле в размерности ${\displaystyle 4}$ ответ утвердительный. Эта более поздняя работа была также опубликована в Annals of Mathematics.

Вариации и обобщения

• Теорема единственности Минковского утверждает, что если два симметричных выпуклых тела имеют равновеликие сечения любой гиперплоскостью, проходящий через их общий центр, то эти два тела равны.
• Задача Шепарда — аналогичная задача, в которой вместо сечений, рассматриваются проекции на все возможные гиперплоскости .

Ссылки

• Ball, Keith (1988), "Some remarks on the geometry of convex sets", Geometric aspects of functional analysis (1986/87) , Lecture Notes in Math., vol. 1317, Berlin, New York: Springer-Verlag , pp. 224—231, doi : , ISBN 978-3-540-19353-1 , MR
• Busemann, Herbert; Petty, Clinton Myers (1956), , Mathematica Scandinavica , 4 : 88—94, ISSN , MR
• Gardner, Richard J. (1994), "A positive answer to the Busemann-Petty problem in three dimensions", Annals of Mathematics. Second Series , 140 (2): 435—447, doi : , ISSN , JSTOR , MR
• Gardner, Richard J.; Koldobsky, A.; Schlumprecht, T. (1999), "An analytic solution to the Busemann-Petty problem on sections of convex bodies", Annals of Mathematics. Second Series , 149 (2): 691—703, doi : , ISSN , MR
• Koldobsky, Alexander (1998a), (PDF) , American Journal of Mathematics , 120 (4): 827—840, doi : , ISSN , MR
• Koldobsky, Alexander (1998b), "Intersection bodies in R⁴", Advances in Mathematics , 136 (1): 1—14, doi : , ISSN , MR
• Koldobsky, Alexander (2005), , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 116, Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3787-0 , MR
• Larman, D. G.; Rogers, C. A. (1975), "The existence of a centrally symmetric convex body with central sections that are unexpectedly small", Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics , 22 (2): 164—175, doi : , ISSN , MR
• Lutwak, Erwin (1988), "Intersection bodies and dual mixed volumes", Advances in Mathematics , 71 (2): 232—261, doi : , ISSN , MR
• Zhang, Gao Yong (1994), "Intersection bodies and the Busemann-Petty inequalities in R⁴", Annals of Mathematics. Second Series , 140 (2): 331—346, doi : , ISSN , JSTOR , MR , The result in this paper is wrong; see the author's 1999 correction.
• Zhang, Gaoyong (1999), "A positive solution to the Busemann-Petty problem in R⁴", Annals of Mathematics. Second Series , 149 (2): 535—543, doi : , ISSN , JSTOR , MR