Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры .

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Витали о покрытиях , но также представляет самостоятельный интерес. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Витали .

Формулировка

Конечная версия

Пусть ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ — конечный набор шаров , содержащихся в d - мерном евклидовом пространстве R ^d (или, в более общем случае, в произвольном метрическом пространстве ). Тогда существует подмножество ${\displaystyle B_{j_{1}},B_{j_{2}},\dots ,B_{j_{m}}}$ из этих шаров, в котором шары попарно не пересекаются, и выполняется

${\displaystyle B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_{m}},}$

где ${\displaystyle 3B_{j_{k}}}$ обозначает шар с тем же центром, что и у ${\displaystyle B_{j_{k}}}$ , но с утроенным радиусом.

Бесконечная версия

Пусть ${\displaystyle \{B_{j}\mid j\in J\}}$ — произвольный (счётный или несчётный) набор шаров в R ^d (или, более общо, в метрическом пространстве), такой что

${\displaystyle \sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j})\mid j\in J\}<\infty ,}$

где ${\displaystyle \mathrm {rad} (B_{j})}$ обозначает радиус шара B _j . Тогда для любого ${\displaystyle k>3}$ существует счётное подмножество

${\displaystyle \{B_{j}\mid j\in J'_{k}\},\quad J'_{k}\subset J,}$

попарно непересекающихся шаров, таких что

${\displaystyle \bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'_{k}}k\,B_{j}.}$

Замечания

• В бесконечной версии лемма перестаёт быть верной, если радиусы не ограничены: например, это неверно для бесконечного набора концентрических шаров с целыми положительными радиусами.
• В самом общем случае, для произвольного метрического пространства, выбор максимальной непересекающейся подколлекции шаров требует некоторой формы леммы Цорна .

Следствия

• В любом конечном наборе шаров ${\displaystyle n}$ -мерного евклидова пространства с объёмом объединения ${\displaystyle V}$ , можно выбрать поднабор пересекающихся между собой шаров с общим объёмом не менее ${\displaystyle {\tfrac {1}{3^{n}}}\cdot V}$ .
  • Коэффициент ${\displaystyle {\tfrac {1}{3^{n}}}}$ не является оптимальным и оптимальное значение не известно.

Вариации и обобщения

• Вместо шаров можно брать другие области с довольно слабыми условиями.
• Лемма Безиковича — аналог леммы Витали. Она применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств включая евклидово пространство в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер ${\displaystyle \mu }$ обладающих свойством удвоения . Последнее означает, что для некоторой вещественной константы ${\displaystyle C}$ и произвольного шара ${\displaystyle B}$ имеем

  ${\displaystyle \mu (2\cdot B)\leq C\cdot \mu (B)}$

Примечания

Литература

• Vitali, Giuseppe (1908) [17 December 1907], , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (итал.) , 43 : 75—92, JFM .
• И. П. Натансон . Теория функций вещественной переменной.