Метрическое дерево (или ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -дерево) — определённый тип метрических пространств . Являются простейшими примерами гиперболических пространств в смысле Громова ; их можно определить как 0-гиперболические пространства в смысле Громова , то есть все их треугольники являются ноль-тонкими .

Они возникают естественным образом в геометрической теории групп и теории вероятностей .

Определение

Геодезическое пространство ${\displaystyle X}$ является метрическим деревом, если это пространство, где каждый треугольник является треногой; иначе говоря, если для каждого треугольника ${\displaystyle [xyz]}$ найдется точка ${\displaystyle p}$ , лежащая на всех трёх геодезических ${\displaystyle [xy],[yz],[zx]}$ .

Свойства

• Геодезическое пространство ${\displaystyle X}$ является метрическим деревом тогда и только тогда, когда для любых четырёх точек ${\displaystyle p,q,x,y\in X}$ выполняется следующее неравенство:

  ${\displaystyle |p-q|_{X}+|x-y|_{X}\leqslant \max\{\,|p-x|_{X}+|q-y|_{X},|p-y|_{X}+|q-x|_{X}\,\},}$

где ${\displaystyle |p-q|_{X}}$ обозначает расстояние между точками ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle X}$ .

• Если ${\displaystyle X_{n}}$ — последовательность ${\displaystyle \delta _{n}}$ -гиперболических пространств, и ${\displaystyle \delta _{n}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$ , то ультрапредел ${\displaystyle X_{n}}$ является метрическим деревом.
  • В частности, ${\displaystyle \delta }$ -гиперболического пространства является метрическим деревом.

Примеры

• Если ${\displaystyle X}$ — это граф с комбинаторной метрикой, тогда это метрическое дерево, тогда и только тогда, когда граф ${\displaystyle X}$ — дерево (то есть не имеет циклов).
• Вещественная прямая, к каждой точке которой приклеено по вещественной прямой.