Теорема об инвариантности области утверждает, что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт .

История

Теорема доказана Брауэром . Доказательство основано на теореме Брауэра о неподвижной точке . Существует вариант доказательства, основанный на лемме Шпернера .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , и ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ — инъективное непрерывное отображение . Тогда образ ${\displaystyle B=f(U)}$ является открытым подмножеством в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , и ${\displaystyle f}$ задаёт гомеоморфизм между ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle B}$ .

Замечания

• Заключение теоремы можно сформулировать так:
  • ${\displaystyle f}$ является открытым отображением .
• Как видно на картинке, утверждение теоремы неверно для отображений между евклидовыми пространствами разной размерности.
• Также теорема неверна в бесконечномерном случае. Например, отображение правого сдвига

  ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )}$

гильбертова пространства в себя является непрерывным и инъективным, но не является открытым.

Следствия

• Из теоремы немедленно следует, что евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны.
• С помощью теоремы доказываются многие теоремы существования для выпуклых многогранников, в том числе существование выпуклого многогранника с данной развёрткой.

Вариации и обобщения

• Теорема об инвариантности области допускает прямое обобщение на отображения между многообразиями равной размерности.
• Существуют также обобщения некоторых видов непрерывных отображений из Банахова пространства в себя.

Примечеания