Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади .

Теорема знаменита своим неожиданным доказательством, использующим 2-адическую норму .

История

Задача была поставлена Фредом Ричманом в « American Mathematical Monthly » в 1965 году и решена Паулем Монски в 1970 году .

О доказательстве

Используя 2-адические числа , строится определённая раскраска точек единичного квадрата в три цвета.

Главные свойства раскраски состоят в следующем:

1. Площадь любого треугольника с вершинами разных цветов не может быть выражена дробью с нечётными числителем и знаменателем.
   • В частности, если бы существовало разбиение квадрата на нечётное число равновеликих треугольников, то ни один из треугольников не имел бы вершин всех трёх цветов.
2. Любая прямая окрашена ровно в два цвета.

Это и некоторые другие свойства данной раскраски приводят к противоречию с леммой Шпернера .

Вариации и обобщения

• ${\displaystyle N}$ -мерный куб может быть разбит на симплексы одинакового объема, только если количество симплексов кратно ${\displaystyle N!}$ .
• Из доказательства теоремы также следует существование четырёхугольников, не допускающих разрезания на равновеликие треугольники.
• Для целого числа ${\displaystyle n\geqslant 5}$ , правильный ${\displaystyle n}$ -угольник допускает разрезание на ${\displaystyle m}$ равновеликих треугольников тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m}$ делится на ${\displaystyle n}$ .
• Никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников . Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы .

Примечания

Литература

• Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин. // Квант . — 1979. — Т. 2 . — С. 26—31 .