Род многообразия — гомоморфизм кольца кобордизмов замкнутых многообразий в некоторое кольцо , обычно кольцо рациональных чисел .

Определение

Род φ выбирает элемент φ( X ) из некоторого кольца K для каждого многообразия X так, что

1. φ( X ∪ Y ) = φ( X ) + φ( Y ) (где ∪ — несвязное объединение )
2. φ( X × Y ) = φ( X )φ( Y )
3. φ( X ) = 0, если X кобордантно нулю.

При этом рассматриваемые многообразия могут быть снабжены дополнительной структурой, например, ориентацией или спинорной структурой.

Кольцо K обычно является полем рациональных чисел, но также рассматривают ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ и .

Условия на φ можно переформулировать, сказав, что φ является гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с учётом структуры) в другое кольцо.

Род формальных степенных рядов

Последовательность многочленов K ₁ , K ₂ ,... от переменных р ₁ , р ₂ ,... называется , если из

${\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\ldots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\ldots )}$

следует

${\displaystyle \sum _{i}K_{i}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{i}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\cdot \sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}.}$

Если Q(z) представляет собой формальный степенной ряд от z со свободным членом 1, мы можем определить мультипликативные последовательности

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=1+K_{1}(p_{1})+K_{2}(p_{1},p_{2})+\ldots }$

как

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\ldots ,}$

где p _k — это k -я элементарная симметрическая функция с неизвестными ${\displaystyle z_{i}}$ .

Род φ ориентированных многообразий, соответствующий степенному ряду Q , определяется как

${\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )}$

где p _k есть k -й класс Понтрягина многообразия X . При этом степенной ряд Q называется характеристическим рядом рода φ.

Примеры

L-род и сигнатура

L-род определяется характеристическим рядом

${\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \operatorname {th} ({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geqslant 0}{2^{2k}B_{2k}z^{k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\ldots }$

где ${\displaystyle B_{2k}}$ — числа Бернулли . Первые несколько значений:

• ${\displaystyle L_{0}=1}$
• ${\displaystyle L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}}$
• ${\displaystyle L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})}$
• ${\displaystyle L_{3}={\tfrac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})}$
• ${\displaystyle L_{4}={\tfrac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4})}$

Если M — замкнутое гладкое ориентированное многообразие размерности 4 n с классами Понтрягина ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)}$ , то значение L-рода на фундаментальном классе ${\displaystyle [M]}$ равно сигнатуре ${\displaystyle \sigma (M)}$ , то есть

${\displaystyle \sigma (M)=L_{n}([M])}$ .

Тот факт, что L ₂ всегда целочисленный для гладких многообразий, использовал Джон Милнор в доказательстве существования кусочно-линейного 8-мерного многообразия без гладкой структуры.

Â-род

Â-род определяется характеристическим рядом

${\displaystyle Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \operatorname {sh} ({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/5760-\ldots .}$

Первые несколько значений

• ${\displaystyle {\hat {A}}_{0}=1}$
• ${\displaystyle {\hat {A}}_{1}=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}}$
• ${\displaystyle {\hat {A}}_{2}={\tfrac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})}$
• ${\displaystyle {\hat {A}}_{3}={\tfrac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})}$
• ${\displaystyle {\hat {A}}_{4}={\tfrac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})}$

Свойства

• Â-род спинорного многообразия есть целое число,
  • Â-род спинорного многообразия размерности ${\displaystyle 4{\pmod {8}}}$ — чётное целое число.
• Â-род спинорного многообразия равен индексу оператора Дирака .
• Если компактное спинорное  многообразие допускает метрику положительной скалярной кривизны , то его Â-род равен нулю.

См. также

• Теорема Атьи — Зингера об индексе

Примечания

Ссылки

• Friedrich Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry ISBN 3-540-58663-6
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Manifolds and Modular Forms ISBN 3-528-06414-5
• Milnor, Stasheff, Characteristic classes , ISBN 0-691-08122-0
• A.F. Kharshiladze (2001), (недоступная ссылка) , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), (недоступная ссылка) , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4