Функция Буземана — определённый тип функций на метрическом пространстве . Грубо говоря, функцию Буземана можно рассматривать как «расстояние до бесконечно удалённой точки».

История

Эти функции введены Буземаном при изучении глобальных свойств метрических пространств .  Позже, они были использованы в теории вероятностей для исследования асимптотических перколяций .

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,d)}$ — метрическое пространство . Назовём лучом кривую ${\displaystyle \gamma \colon [0,\infty )\to X}$ , которая минимизирует расстояние везде вдоль своей длины, то есть для всех ${\displaystyle t,t'\in [0,\infty )}$ в естественной параметризации выполняется

${\displaystyle d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}t-t'{\big |}}$ .

Функция Буземана для луча γ, ${\displaystyle B_{\gamma }\colon X\to \mathbb {R} }$ , определяется как предел

${\displaystyle B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}}$

Замечания

• Из неравенства треугольника следует, что

  ${\displaystyle |d(\gamma (t),x)-t|\leq d(\gamma (0),x)}$

для любого ${\displaystyle x\in X}$ . В то же время функция

${\displaystyle t\mapsto d(\gamma (t),x)-t}$

невозрастающая. Поэтому функция Буземана всегда определена для любого луча ${\displaystyle \gamma }$ .

• При больших ${\displaystyle t}$ и фиксированном ${\displaystyle x}$

  ${\displaystyle d{\big (}\gamma (t),x{\big )}\approx t+B_{\gamma }(x).}$

Свойства

• В пространстве Лобачевского , линии уровня функций Буземана образуют орисферы .

Примечания