Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.

Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых. Она использовалась Джоном Сингом .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \gamma \colon [0;1]\to M}$ есть геодезическая в римановом многообразии ${\displaystyle M}$ с положительной секционной кривизной и ${\displaystyle V}$ параллельное поле касательных векторов на ${\displaystyle \gamma }$ . Тогда вариация ${\displaystyle \gamma }$ в направлении ${\displaystyle V}$ сокращает её длину.

Более точно, если

${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\exp _{\gamma (t)}(\tau \cdot V(t))}$

и ${\displaystyle L(\tau )}$ обозначает длину кривой ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ тогда ${\displaystyle L'(0)=0}$ и ${\displaystyle L''(0)<0}$ .

Следствия

• Eсли замкнутая геодезическая допускающая параллельное векторное поле не является стабильной, то есть её длина может быть уменьшена произвольно малой деформацией. В частности,
  • Чётномерные ориентированные римановы многообразия с положительной секционной кривизной односвязны .
  • Нечётномерные римановы многообразия с положительной секционной кривизной ориентированны .
• Лемма Синга использовалась также для доказательства того, что если ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ являются замкнутыми геодезическими подмногобразиями в римановом многообразии ${\displaystyle M}$ с положительной секционной кривизной и ${\displaystyle \dim V+\dim W\geq \dim M}$ то ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ пересекаются.

Примечания