Теорема Усова о геодезической даёт точную оценку на вариацию поворота геодезической на графике выпуклой липшицевой функции.

Доказана Владимиром Усовым. Доказательство использует лемму Либермана .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}$ есть график выпуклой липшицевой функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \gamma }$ есть геодезическая на ${\displaystyle \Sigma }$ . Тогда вариация поворота ${\displaystyle \gamma }$ не превосходит ${\displaystyle 2\cdot L}$ , где ${\displaystyle L}$ — липшицева константа ${\displaystyle f}$ .

Замечания

• Эта оценка достигается например для конуса ${\displaystyle f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ . Можно также сгладить функцию в окрестности нуля, получив таким образом гладкий пример с равенством.

Вариации и обобщения

• Вариация поворота геодезической подграфика произвольной ${\displaystyle L}$ -липшицевой функции не превосходит ${\displaystyle 2\cdot L}$ .
• Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.

Примечания