Interested Article - Теорема Усова о геодезической

Теорема Усова о геодезической даёт точную оценку на вариацию поворота геодезической на графике выпуклой липшицевой функции.

Доказана Владимиром Усовым. Доказательство использует лемму Либермана .

Формулировка

Пусть есть график выпуклой липшицевой функции и есть геодезическая на . Тогда вариация поворота не превосходит , где — липшицева константа .

Замечания

  • Эта оценка достигается например для конуса . Можно также сгладить функцию в окрестности нуля, получив таким образом гладкий пример с равенством.

Вариации и обобщения

  • Вариация поворота геодезической подграфика произвольной -липшицевой функции не превосходит .
  • Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.

Примечания

  1. В. В. Усов. "О длине сферического изображения геодезической на выпуклой поверхности." Сибирский математический журнал 17.1 (1976), с. 233—236
  2. I. D. Berg. “An estimate on the total curvature of a geodesic in Euclidean 3-space-with-boundary.” Geom. Dedicata 13 (1982), pp. 1–6.
  3. N. Lebedeva, A. Petrunin. // Алгебра и анализ. — 2017. — Т. 29 , № 1 . — С. 189–208 .
Источник —

Same as Теорема Усова о геодезической