Радиус инъективности — размер максимальной проколотой окрестности точки полного риманова многообразия , на которой расстояние до этой точки является гладкой функцией.

Радиус инъективности всего риманова многообразия определяется как точная нижняя грань радиусов инъективности во всех его точках.

Радиус инъективности в точке ${\displaystyle p}$ риманова многообразия ${\displaystyle M}$ обычно обозначается ${\displaystyle i_{p}}$ , ${\displaystyle i_{p}(M)}$ или ${\displaystyle r_{i}(p)_{M}}$ . Радиус инъективности всего многообразия обозначается как ${\displaystyle i(M)}$ .

Точное определение

Радиус инъективности в точке ${\displaystyle p}$ риманова многообразия — наибольший радиус шара в касательном пространстве, сужение на который экспоненциального отображения ${\displaystyle \exp _{p}}$ в ${\displaystyle p}$ является диффеоморфизмом .

Свойства

• Радиус инъективности полунепрерывен сверху и положителен.

• Радиус инъективности в точке равен расстоянию от точки до её множества раздела .

• Теорема Клингенберга . Для полных римановых многообразий, если радиус инъективности в точке ${\displaystyle p}$ является конечным числом ${\displaystyle R}$ , то существует геодезическая петля длиной ${\displaystyle 2\cdot R}$ , которая начинается и заканчивается в ${\displaystyle p}$ , или имеется точка ${\displaystyle q}$ , сопряжённая с ${\displaystyle p}$ и находящаяся на расстоянии ${\displaystyle R}$ от ${\displaystyle p}$ .

• Для замкнутых римановых многообразий радиус инъективности равен половине минимальной длины замкнутой геодезической, то есть минимальному расстоянию между сопряжёнными точками на геодезической.

Примечания

Литература

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — СПб. : Наука, 1994. — 318 с.