Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере , которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии . Названы в честь Марселя Берже .

Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа .

Построение

Рассмотрим ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ как сферу в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ . На ней действует ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\subset \mathbb {C} }$ комплексными умножениями. Таким образом на ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}}$ можно построить изометрическое действие ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}}$ с помощью комплексных поворотов ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ и сдвигов по ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . В ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}}$ есть однопараметрическое семейство подгрупп ${\displaystyle \mathbb {R} _{\alpha }}$ изоморфных ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , с элементами типа ${\displaystyle (t,e^{\alpha t})\in \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}}$ . Фактор ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}}$ по действию ${\displaystyle \mathbb {R} _{\alpha }}$ диффеоморфен ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ , но индуцированная риманова метрика ${\displaystyle g_{\alpha }}$ на нём отличается от стандартной. Полученное риманово многообразие ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{3},g_{\alpha })}$ называется сферой Берже.

Свойства

• Из формулы О’Нэйла , секционная кривизна ${\displaystyle g_{\alpha }}$ положительна.
• При ${\displaystyle \alpha \to \infty }$ пространства ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{3},g_{\alpha })}$ коллапсируют к ${\displaystyle \mathbb {S} _{1/2}^{2}}$ , стандартной 2-сфере радиуса ${\displaystyle 1/2}$ .
• При ${\displaystyle \alpha \to \infty }$ , тензор кривизны ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{3},g_{\alpha })}$ сходится к тензору кривизны пространства ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {\mathbb {S} } _{1/2}^{2}}$ .
• Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=Spin_{4}}$ .
• Круговые сферы в комплексной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ с метрикой Фубини — Штуди с точностью до коэффициента являются сферами Берже.
• На сферах Берже, окружности в расслоении Хопфа образуют двупараметрическое семейство замкнутых геодезических , которые при достаточно больших ${\displaystyle \alpha }$ являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).