Жёсткость Мостова утверждает, что геометрия конечного объёма в размерностях, начиная с трёх, полностью определяется его фундаментальной группой .

История

Для замкнутых многообразий теорема была доказана Джорджем Мостовым в 1968 году. Обобщена на многообразия конечного объёма размерности Марденом и ( англ. ). Громов дал другое доказательство — основанное на симплициальном объёме .

До этого Вейль доказал тесно связаные утверждения. В частности то, что кокомпактные действия дискретных групп изометрий гиперболического пространства размерности не менее 3 не допускают нетривиальных деформаций.

Формулировки

Геометрическая формулировка

Пусть M и N — полные гиперболические n -мерные многообразия конечного объёма с n ≥3. Тогда любой изоморфизм f : π ₁ ( M ) → π ₁ ( N ) индуцируется изометрией M → N .

Здесь π ₁ ( M ) обозначает фундаментальную группу многообразия M .

Алгебраическая формулировка

Пусть Γ и Δ — дискретные подгруппы группы G изометрий n -мерного гиперболического пространства H с n ≥3, чьи факторпространства H /Γ и H /Δ имеют конечные объёмы. Тогда изоморфность Γ и Δ как дискретных групп влечёт их сопряжённость в G .

Приложения

• Группа изометрий конечных объёмов гиперболических n -многообразия M (для n ≥3) конечна и изоморфна группе внешних автоморфизмов π ₁ ( M ).
• Теорема об упаковке кругов

Ссылки

• Gromov, Michael (1981), , Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80 , Lecture Notes in Math., vol. 842, Berlin, New York: Springer-Verlag , pp. 40—53, doi : , ISBN 978-3-540-10292-2 , MR , Архивировано из 10 января 2016
• Marden, Albert (1974), "The geometry of finitely generated kleinian groups", Annals of Mathematics. Second Series , 99 : 383—462, ISSN , JSTOR , MR , Zbl
• Mostow, G. D. (1968), , Publ. Math. IHES , 34 : 53—104
• Mostow, G. D. (1973), , Annals of mathematics studies, vol. 78, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6 , MR
• Prasad, Gopal (1973), "Strong rigidity of Q-rank 1 lattices", Inventiones Mathematicae , 21 : 255—286, doi : , ISSN , MR
• (1995), "Harmonic Analysis in Rigidity Theory", in Petersen, Karl E.; Salama, Ibrahim A. (eds.), Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , Cambridge University Press, pp. 153—205, ISBN 0-521-45999-0 . (Provides a survey of a large variety of rigidity theorems, including those concerning Lie groups, algebraic groups and dynamics of flows. Includes 230 references.)
• (1978–1981), , Princeton lecture notes . (Gives two proofs: one similar to Mostow’s original proof, and another based on the Gromov norm )
• Weil, André (1960), "On discrete subgroups of Lie groups", Annals of Mathematics. Second Series , 72 : 369—384, ISSN , JSTOR , MR
• Weil, André (1962), "On discrete subgroups of Lie groups. II", Annals of Mathematics. Second Series , 75 : 578—602, ISSN , JSTOR , MR