Interested Article - Теорема Нэша — Кёйпера

Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение (или погружение ) $n$ -мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{q}$ при $q>n$ можно аппроксимировать $C^{1}$ -гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением).

Формулировка

Термин «изометрическое вложение/погружение» здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.

Более точно:

Пусть $(M,g)$ есть Риманово многообразие и $f\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}$ есть короткое $C^{\infty }$ -гладкое вложение (или погружение ) в Евклидово пространство ${\mathbb {R} }^{q}$ и $q>n$ . Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует вложение (или соответственно погружение) $f_{\varepsilon }\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}$ такое, что

$f_{\varepsilon }$ является $C^{1}$ -гладким,
(изометричность) для любых двух касательных векторов $v,w\in T_{x}(M)$ в касательном пространстве точки $x\in M$ мы имеем:

g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .

( $C^{0}$ -близость) $|f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon$ для всех $x\in M$ .

Этот результат является весьма контринтуитивным . В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично $C^{1}$ -вложена в произвольно малый трёхмерный шар. Из формулы Гаусса следует, что такое вложение невозможно в классе $C^{2}$ -вложений.

История

Теорема была доказана Нэшем в предположении $q>n+1$ вместо $q>n$ и приведена к настоящему виду Кёйпером с помощью нехитрого трюка.

Вариации обобщения

Теорема Нэша о регулярных вложениях
Теорема Громова о складках утверждает, что для любого короткого отображения из $n$ -мерного риманова многообразия в $\mathbb {R} ^{n}$ существует сколь угодно близкое (негладкое) отображение, сохраняющее длины кривых.