Теорема Робертса о треугольниках
утверждает, что среди кусков, на которые
прямых в
общем положении
разрезают плоскость, найдётся хотя бы
треугольника.
Теорема знаменита простой формулировкой и большим числом ошибочных решений.
В частности, Робертс, именем которого названа теорема, дал ошибочное доказательство.
Эта задача была решена Шенноном только спустя 90 лет с момента постановки.
Содержание
Формулировка
Пусть на плоскости даны
прямых в общем положении, то есть никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.
Тогда среди многоугольных областей, на которые эти прямые разрезают плоскость, найдётся хотя бы
треугольника.
История
Вопрос был сформулирован и решён Робертсом в 1889 году.
Стандартная ошибка заключается в попытке доказать, что при
добавление одной прямой к конфигурации увеличивает число треугольников хотя бы на 1, и таким образом доказать теорему индукцией по
. Легко доказать, что добавление одной прямой не уменьшает числа треугольников, однако оно не всегда добавляет 1 к их числу.
Идея Канеля-Белова состоит в следующем. Если число треугольников меньше
, то по стандартному рассуждению
линейной алгебры
можно закрепить две прямые и двигать остальные
параллельно так, что периметры всех треугольников остаются одинаковыми. При таком движении новых треугольников не образуется, и старые не могут «умереть». Используя такое движение, можно привести конфигурацию прямых к более простому случаю, в котором доказательство несложно.
Идея Фелснерa и Кригелa состоит в следующем. В каждом куске разбиения посадим по цветку на каждую сторону, при которой сумма смежных с ней углов
. Заметим что на каждую сторону посажен ровно один цветок, отсюда число цветков равно
. Далее в заметим, что в каждом треугольнике ровно три цветка, а в ограниченном многоугольнике, отличном от треугольника, не больше двух цветков. Индукцией по
получаем, что число ограниченных многоугольников разбиения равно
.
Значит, если число треугольников обозначить за
, получаем
,
откуда немедленно следует желанное
.
Вариации и обобщения
Утверждение остаётся верным если в
конфигурации прямых
нет параллельных и не все прямые проходят через одну точку.
Аналогичная задача на
проективной плоскости
проще,
прямых вырезают хотя бы
треугольников. Эта оценка точная при
. Доказательство было дано Фридрихом Леви в 1926 году, оно основано на том, что каждая прямая граничит хотя бы с тремя треугольниками.
Среди кусков
-мерного евклидова пространства, на которые его разбивают
гиперплоскостей в общем положении, найдётся хотя бы
симплексов
.
B. Grünbaum
.
Arrangements and spreads
(англ.)
. — 1972. — iv+114 p.
S. Felsner, K. Kriegel.
(англ.)
// Discrete Comput. Geom.. — 1999. —
Vol. 22
,
no. 3
. —
P. 429—438
.
F. Levi.
Die Teilung der projektiven Ebene durch Gerade oder Pseudogerade
(нем.)
// Ber. Math.-Phys. Kl. Sächs. Akad. Wiss. — 1926. —
Bd. 78
. —
S. 256—267
.
S. Roberts.
On the figures formed by the intercepts of a system of straight lines in the plane and on analogous relations in space of three dimensions
(англ.)
// Proc. London Math. Soc.. — 1889. —
Vol. 19
. —
P. 405–422
.
R. W. Shannon.
Simplicial cells in arrangements of hyperplanes
(англ.)
//
Geom. Dedicata
. — 1979. —
Vol. 8
. —
P. 179–187
.