Хёберг — воспитанник клубов «Эленелудс» и «
Юргорден
». В 2010 году он начал футбольную карьеру в клубе Второго дивизиона Швеции «
».
В 2011 году Аксел переехал в США, где поступил в Университет Маркетта и начал выступления в футбольной команде учебного заведения
. В 2012—2013 годах он также выступал за клуб Премьер-лиги развития «Тандер-Бей Чилл»
.
15 января 2015 года на Супердрафте
MLS
Хёберг был выбран под 14-м номером клубом «
Колорадо Рэпидз
»
. В главной лиге США он дебютировал 7 марта в матче стартового тура
сезона 2015
против «
Филадельфии Юнион
»
. 22 мая 2016 года в поединке против «
Сиэтл Саундерс
» Аксел забил свой первый гол за «Колорадо Рэпидз»
. По итогам
сезона 2016
Хёберг был включён в
символическую сборную MLS
. 27 ноября 2019 года «Колорадо Рэпидз» поместил Хёберга в список отказов
.
4 декабря 2019 года Хёберг был подписан клубом «
Коламбус Крю
»
. 6 марта 2020 года он был отдан в аренду клубу
Чемпионшипа ЮСЛ
«
» на сезон 2020
. За техасский клуб он дебютировал на следующий день в матче стартового тура сезона против «
Реал Монаркс
»
.
14 августа 2020 года «Коламбус Крю» обменял Хёберга на
Эммануэля Боатенга
в «
Ди Си Юнайтед
»
. За вашингтонский клуб он дебютировал 29 августа в матче против «Филадельфии Юнион»
. По окончании
сезона 2020
«Ди Си Юнайтед» не продлил контракт с Хёбергом
.
21 января 2021 года Хёберг вернулся в «Сан-Антонио», подписав контракт на сезон 2021
. 28 июля в матче против «
» он забил свой первый гол за «Сан-Антонио»
.
24 апреля 2022 года Аксел Хёберг объявил о завершении футбольной карьеры
.