Interested Article - Коалгебра

Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей . Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм . Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих алгебрах и ). Существует также , имеющая важные приложения в информатике .

Определение

Коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K -линейными отображениями и , такими что

  1. .

(Здесь и означает тензорное произведение над K .)

Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют :

На первой диаграмме мы отождествляем с как два естественно изоморфных пространства. Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства , и .

Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента . Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением ) в C , а ε является коединицей C .

Пример

Рассмотрим множество S и образуем векторное пространство над K с базисом S . Элементами этого векторного пространства являются такие функции из S в K которые отображают все элементы S , кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент s из S с функцией которая отображает s в 1 и все остальные элементы S в 0. Мы будем обозначать это пространство как C . Мы определим

Δ и ε могут быть единственным образом продолжены на всё C по линейности . Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и коединицей ε (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).

Конечномерный случай

В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще же говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.

Это следует из того, что, для конечномерных пространств, ( A A )* и A * ⊗ A * изоморфны.

Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами .

Примечания

  1. Yokonuma (1992), , Prop. 1.7.
  2. Yokonuma (1992), , Prop. 1.4.

См. также

Литература

  • Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras , Pure and Applied Mathematics, vol. 235 (1st ed.), Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 {{ citation }} : Неизвестный параметр |subtitle= игнорируется ( справка ) .
  • Yokonuma, Takeo (1992), Tensor spaces and exterior algebra , Translations of mathematical monographs, vol. 108, AMS Bookstore, ISBN 9780821845646 .
  • Bourbaki, Nicolas. Algebra (неопр.) . — Springer-Verlag , 1989. — ISBN 0-387-19373-1 . . Chapter III, section 11.

Ссылки

Источник —

Same as Коалгебра