Теорема Хольмгрена — теорема о единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными производными в случае аналитичности коэффициентов дифференциального оператора.

Формулировка

Рассмотрим пространство ${\displaystyle R^{n+1}}$ . Обозначим ${\displaystyle D_{\epsilon }}$ область пространства ${\displaystyle R^{n+1}(x,t)}$ такую, что ${\displaystyle |x|^{2}+|t|<\epsilon }$ . Обозначим оператор частного дифференцирования ${\displaystyle L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{\nu ,j}(x,t)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}}$ . Пусть все коэффициенты ${\displaystyle a_{\nu ,j}(x,t)}$ оператора ${\displaystyle L}$ аналитичны в окрестности ${\displaystyle U}$ начала координат. Тогда существует такое ${\displaystyle \epsilon _{0}>0}$ , что если ${\displaystyle 0<\epsilon <\epsilon _{0}}$ и ${\displaystyle u(x,t)\in \mathrm {E} ^{m}(D_{\epsilon })}$ , причём ${\displaystyle Lu=0}$ в ${\displaystyle D_{\epsilon }}$ , ${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=0}$ , ${\displaystyle (j=0,1,...,m-1)}$ , ${\displaystyle x\in D_{\epsilon }}$ , то ${\displaystyle u(x,t)\equiv 0}$ в ${\displaystyle D_{\epsilon }}$ .

См. также

• Теорема Коши — Ковалевской

Литература

• C. Мизохата Теория уравнений с частными производными, М., Мир, 1977, 504 стр.