Теорема Эрмита — Билера — утверждение комплексного анализа , определяющие необходимые и достаточные условия устойчивости многочлена . Является частным случаем теоремы Чеботарёва .

Формулировка

Многочлен ${\displaystyle f}$ тогда и только тогда устойчив, когда корни многочленов ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ перемежаются и хотя бы для одного ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle g(\omega _{0})h^{'}(\omega _{0})-g^{'}(\omega _{0})h(\omega _{0})>0}$ . Для многочлена ${\displaystyle f}$ с вещественными коэффициентами это неравенство равносильно неравенству ${\displaystyle a_{n-1}a_{n}>0}$ .

Пояснения

Здесь многочлен ${\displaystyle f=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_{n}}$ при ${\displaystyle a_{0}>0}$ , числа ${\displaystyle a_{0},a_{1},...a_{n}}$ — произвольные комплексные числа . Многочлен ${\displaystyle f}$ называется устойчивым, если вещественные части всех его корней отрицательны. Функции ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ определяются следующим образом. Подставив в многочлен ${\displaystyle f}$ вместо ${\displaystyle z}$ чисто мнимое число ${\displaystyle i\omega }$ получаем комплексное число ${\displaystyle f(i\omega )=g(\omega )+ih(\omega )}$ . Корни многочленов ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.

Литература

• Постников М. М. Устойчивые многочлены, М., Наука, 1981, 176 стр.