Теорема Шварца о второй производной устанавливает достаточные условия линейности функции . Используется в теории тригонометрических рядов.

Формулировка

Если функция ${\displaystyle F(x)}$ непрерывна в некотором интервале ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^{2}}}=0}$ при всех значениях ${\displaystyle x}$ в этом интервале, то ${\displaystyle F(x)}$ есть линейная функция.

Доказательство

Выражение, стоящее слева в условии теоремы, называется обобщенной второй производной функции ${\displaystyle F(x)}$ . Если ${\displaystyle F(x)}$ имеет обыкновенную вторую производную, то обобщенная вторая производная равна ей и доказывать нечего. Рассмотрим функцию ${\displaystyle \phi (x)=F(x)-F(a)-{\frac {x-a}{b-a}}(F(b)-F(a))}$ . Очевидно, ${\displaystyle \phi (a)=0}$ и ${\displaystyle \phi (b)=0}$ . Для доказательства теоремы покажем, что ${\displaystyle \phi (x)=0}$ при всех значениях ${\displaystyle x}$ . Предположим, что ${\displaystyle \phi (x)}$ принимает положительные значения. Пусть ${\displaystyle \phi (c)>0}$ в некоторой точке ${\displaystyle c}$ . Введем функцию ${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)-{\frac {1}{2}}\epsilon (x-a)(b-x)}$ , где ${\displaystyle \epsilon }$ - малое положительное число, такое, что ${\displaystyle \psi (x)>0}$ . Функция ${\displaystyle \psi (x)}$ имеет положительную верхнюю грань и достигает её, в силу своей непрерывности, в некоторой точке ${\displaystyle x=\xi }$ . Очевидно ${\displaystyle \psi (\xi +h)+\psi (\xi -h)-2\psi (\xi )\leqslant 0}$ . Но ${\displaystyle {\frac {\psi (\xi +h)+\psi (\xi -h)-2\psi (\xi )}{h^{2}}}={\frac {F(\xi +h)+F(\xi -h)-2F(\xi )}{h^{2}}}+\epsilon }$ и при ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ правая часть стремится к ${\displaystyle \epsilon }$ . Получено противоречие. К подобному же противоречию приводит предположение, что ${\displaystyle \phi (x)}$ принимает отрицательные значения. Следовательно, ${\displaystyle \phi (x)=0}$ при всех значениях ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle F(x)}$ есть линейная функция.

Литература

• Е. Титчмарш Теория функций, М., Наука, 1980.