Interested Article - Теорема Абеля — Таубера

Теорема Абеля — Таубера — теорема, обратная теореме Абеля о степенных рядах . Первая теорема типа тауберовых теорем. Была доказана A. Таубером в 1897 г. ( теорема Таубера ) Формулировку и доказательство при более общих условиях затем дал Дж. Литтльвуд в 1910 г. Затем была доказана Р. Шмидтом , Н. Винером . Наиболее простое доказательство дал Дж. Карамата . Формулировку и доказательство при более слабом условии $n|a_{n}|<K$ дал Э. Ландау .

Формулировка

Пусть $\sum _{0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ сходится к $f(x)$ при $|x|<1$ . Пусть $\lim _{x\rightarrow {1-0}}f(x)=s$ , когда $x$ стремится слева к $1$ . Пусть $n|a_{n}|<K<\infty$ . Тогда $\sum _{0}^{\infty }a_{n}=s$ .

Примечания

А. Таубер Ein Satz aus der Theorie der undendlichen Reihen // Monatshefte f. Math. 8 (1897), 273—277
Литтлвуд On the converse of Abel’s theorem on power series // Proc. Lond. Math. Soc. (2), 9 (1910), 434—444
R. Schmidt Uber divergente Folgen und lineare Mittelbindungen // Math. Zeitchr., 22 (1925), 89-152
N. Wiener Tauberian Theorems // Annals of Mathematics, 33 (1932), 1-100
J. Karamata Uber die Hardy — Littlewoodschen Umkehrungen des Abelshen Stetigkeitssatzes // Math. Zeitschr.., 32 (1930), 319—320
E. Landau Uber einen Satz des Herrn Littlewood // Rendiconti di Palermo, 35 (1913), 265—276