Теорема Стилтьеса — теорема о свойствах нормальных семейств голоморфных функций одного или многих комплексных переменных. Названа в честь Томаса Стилтьеса .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle F}$ — последовательность голоморфных функций; ${\displaystyle D}$ — область нормальности первого (второго) рода семейства, образованного из функций семейства ${\displaystyle F}$ . Тогда, если в области ${\displaystyle D}$ существует точка ${\displaystyle M_{0}}$ , в окрестности которой последовательность ${\displaystyle F}$ сходится, то область ${\displaystyle D}$ совпадает с областью равномерной сходимости первого (второго) рода последовательности ${\displaystyle F}$ .

Доказательство

Доказательство аналогично случаю одного комплексного переменного .

Пояснения

Область ${\displaystyle D}$ над пространством ${\displaystyle P^{n}}$ называется областью нормальности первого (второго) рода, если:

1. Существует множество функций ${\displaystyle F}$ , голоморфных в области ${\displaystyle D}$ и составляющих в этой области нормальное семейство первого (второго) рода.
2. Не существует области ${\displaystyle {\tilde {D}}>D}$ , обладающей по отношению к множеству ${\displaystyle F}$ свойством, указанным в пункте 1.

Примечания

Литература

• Фукс, Б. А. . Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных (рус.) . — М. : Физматлит , 1963. — 428 с.
• Монтель, П. Нормальные семейства аналитических функций (рус.) . — М. , Л. : ОНТИ НКТП СССР , 1936.