Interested Article - Теорема Риса о полноте

Теорема Риса о полноте — утверждение функционального анализа о полноте пространства Лебега . Названа по имени венгерского математика Фридьеша Риса , установившего результат.

Формулировка

Каждая последовательность функций с интегрируемым на квадратом, сходящаяся в среднем в себе, сходится в среднем к некоторой функции, также принадлежащей пространству .

Доказательство

Пусть задано произвольное . Найдется номер , такой что при . Возьмем и для каждого подберем соответствующий номер . Можно считать, что . Таким образом, . Взяв, в частности , будем иметь . Неравенство Коши — Буняковского даст . И поэтому положительный ряд сходится, так как его члены не превышают членов сходящегося геометрического ряда. Покажем, что . Положим в неравенстве а , где . Получим . Пусть .Тогда подынтегральные функции стремятся почти всюду к и в силу их неотрицательности можно применить лемму Фату. Будем иметь , то есть . Теперь неравенство показывает, что подпоследовательность сходится в среднем к . Докажем, что и вся последовательность сходится к той же функции. Согласно неравенству треугольника имеем . Для произвольного возьмем сначала так, чтобы . Тогда в силу получаем . Если, кроме того, выбрать настолько большим, чтобы при имело место неравенство , что возможно в силу сходимости в среднем к себе последовательности , то будем иметь при , а это и означает требуемую сходимость.

Литература

  • Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.
Источник —

Same as Теорема Риса о полноте