Теорема Эрмита — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка , в которые не входит независимая переменная.

Формулировка

Если уравнение первого порядка, в которое не входит независимое переменное ${\displaystyle z}$ (то есть вида ${\displaystyle P(\omega ^{'},\omega )=0}$ , алгебраическое относительно неизвестной функции и её производных, то есть ${\displaystyle P}$ - многочлен относительно ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \omega ^{'}}$ ) не имеет критических подвижных точек, то род соответствующей поверхности Римана равен или ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle 1}$ . В этом случае интеграл уравнения есть либо рациональная функция , либо рационально выражается через показательные или эллиптические функции.

Пояснения

Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменного . Если функция при обходе вокруг особой точки меняет своё значение, то особая точка называется критической точкой . Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой .

Доказательство

Доказательство теоремы Эрмита занимает ${\displaystyle 2}$ страницы в книге .

Примечания

Литература

• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М. — Л. : ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.
• Лаврентьев М. А. , Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М. : Физматлит, 1958. — 678 с.