Теорема Хэйнсворта — утверждение о свойствах дополнений Шура трех последовательно вложенных матриц.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}}$ , ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}$ , ${\displaystyle C=A_{11}}$ - квадратные матрицы, причем матрицы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ невырождены. Дополнение Шура матрицы ${\displaystyle C}$ в матрице ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \left(B{\mathcal {j}}C\right)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}}$ можно рассматривать как подматрицу матрицы ${\displaystyle \left(A{\mathcal {j}}C\right)={\begin{pmatrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}-{A_{21} \choose A_{31}}A_{11}^{-1}(A_{12}A_{13})}$ .

Тогда:

${\displaystyle \left(A{\mathcal {j}}B\right)=\left(\left(A{\mathcal {j}}C\right){\mathcal {j}}\left(B{\mathcal {j}}C\right)\right)}$ .

Доказательство

Доказательство есть в книге .

Примечания

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М. : Наука, 1996. — 304 с.