« Тогда́ и то́лько тогда́ » — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике , математике , философии . Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию ^{[ нет в источнике ]} («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение русского языка «тогда и только тогда» определённую выше связку с её уже существующим смыслом. Конечно, ничто не может помешать нам читать эту связку именно как «тогда и только тогда», хотя это может иногда привести к путанице.

В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие: Q необходимо и достаточно для Р ; Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q ; Р точно, если Q ; P точно, когда Q ; P точно в случае Q ; P именно в случае Q .

В логических формулах вместо всех вышеприведённых фраз используются логические символы.

Определение

Таблица истинности для p ↔ q имеет следующий вид:

Заметим, что эквивалентное преобразование производит стандартная ячейка XNOR, а противоположное преобразование — стандартная ячейка XOR.

Использование

Нотация

Для обозначения в формулах логической связки «тогда и только тогда» используются логические символы ↔, ⇔ и ≡. В английских текстах иногда для обозначения связки используется «iff» (аббревиатура от «if and only if»), а в русскоязычных текстах по аналогии изредка используется аббревиатура «ттт» или «согда» . Обычно все эти символы трактуются как эквивалентные. Однако некоторые тексты математической логики (особенно по логике первого порядка и в меньшей степени по логике высказываний ) делают различие между ними, причём, первый знак ↔ используется как символ в логических формулах, тогда как знак ⇔ используется в рассуждениях по поводу этих формул (например, в металогике ). В нотации Лукасевича в качестве префикса используется символ «E». Отрицанием данной связки является «исключающее или».

Доказательства

В большинстве логических систем доказывается утверждения вида «P ↔ Q» через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P» (или обратное «если не-P, то не-Q» и «если не-Q, то не-P»). Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более строгому доказательству, поскольку есть неочевидные условия, из которых можно вывести эквиваленцию непосредственно. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена из дизъюнктов, т.е поскольку связка ↔ является функцией истинности, то отсюда следует, что «P ↔ Q» истинно только, если P и Q оба истинны или оба ложны.

Отличие «тогда» и «только тогда»

1. « Если пудинг с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть.» или «Мэдисон будет есть пудинг, если он с заварным кремом.» (эквивалентно к « Только если Мэдисон будет есть пудинг, тогда возможно , что он с заварным кремом.» или « Если Мэдисон не будет есть пудинг, значит он без крема.» или « Только если пудинг без крема, то возмо жно , что Мэдисон не станет его есть.» )

   Здесь утверждается лишь то, что Мэдисон будет есть крем-пудинг. Это, однако, не исключает возможности того, что Мэдисон съест хлеб-пудинг. Может быть, она будет есть, может быть не будет — предложения ничего не говорят нам. Мы знаем наверняка, что она будет есть любой крем-пудинг, с которым она встретится. Крем является достаточным условием для того, чтобы Мэдисон съела пудинг.

2. « Только если пудинг с заварным кремом, тогда возможно , что Мэдисон будет его есть.» или «Мэдисон будет есть пудинг только тогда, когда он с заварным кремом.» (эквивалентно к « Если Мэдисон будет есть пудинг, значит он с заварным кремом.» или « Если пудинг без крема, то Мэдисон не станет его есть.» или « Только если Мэдисон не стала есть пудинг, то возможно , что он без крема.»)

   Здесь утверждается, что Мэдисон будет есть пудинг только с кремом. Это, однако, не исключает возможности того, что Мэдисон откажется от заварного крема, даже если он ей доступен, в отличие от (1), в котором требуется, чтобы Мэдисон съела любой имеющийся заварной крем. Во втором случае пудинг с заварным кремом является необходимым условием для того, чтобы Мэдисон его съела. Это не достаточное условие, так как Мэдисон может и не есть любые крем-пудинги, которые ей дают.

3. « Тогда и только тогда , когда пудинг с заварным кремом, Мэдисон будет его есть.» или «Мэдисон будет есть пудинг тогда и только тогда , когда он с заварным кремом.»

   Здесь совершенно ясно, что Мэдисон будет есть только все те пудинги, которые с заварным кремом. Она не оставит ни одного такого пудинга несъеденным, и она не будет есть никакой другой вид пудинга. Данный крем-пудинг является одновременно необходимым и достаточным условием для того, чтобы Мэдисон его съела.

Достаточность является инверсией необходимости. То есть, если дано P → Q (или если P , то Q ), то P будет достаточным условием для Q , а Q будет необходимым условием для P . Кроме того, если дано P → Q , то истинно также ¬Q → ¬P (где ¬ является оператором отрицания, то есть «не»). Это означает, что связь между P и Q , установленная оператором P → Q , может быть выражена следующими эквивалентными способами:

P достаточно для Q (если P истинно, то Q достоверно)

Q необходимо для P (если Q истинно, то P вероятностно)

¬Q достаточно для ¬P (если ¬Q истинно, то ¬P достоверно)

¬P необходимо для ¬Q (если ¬P истинно, то ¬Q вероятностно)

Если в качестве примера взять вышеприведённое предложение (1), в котором утверждается P → Q , где P — это «пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом», а Q — это «Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь», то следующие четыре способа выражения отношений будут эквивалентны:

Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть.

Только если Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь, он, возможно, с заварным кремом.

Если Мэдисон не будет есть пудинг, о котором идёт речь, он без заварного крема.

Только если пудинг, о котором идёт речь, без заварного крема, Мэдисон, возможно, не будет его есть.

Таким образом, мы видим, что вышеприведённое предложение (2) можно переформулировать в виде если … то , например, «Если Мэдисон съест пудинг, о котором идёт речь, то он с заварным кремом». Беря это в сочетании с (1), мы находим, что (3) можно сформулировать так: «Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть, И если Мэдисон будет есть пудинг, то он с заварным кремом».

См. также

• Эквиваленция
• Импликация
• Необходимое и достаточное условия

Примечания