Декартово замкнутая категория — категория , допускающая каррирование , то есть содержащая для каждого класса морфизмов ${\displaystyle A\to B}$ некоторый объект ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ , представляющий его. Декартово замкнутые категории занимают в некотором смысле промежуточное положение между абстрактными категориями и множествами , так как позволяют корректно оперировать с функциями , но не позволяют, к примеру, оперировать с подобъектами.

С точки зрения программирования декартово замкнутые категории реализуют инкапсуляцию аргументов функций — каждый аргумент представляется объектом категории и используется как чёрный ящик . Вместе с тем выразительности декартово замкнутых категорий вполне достаточно, чтобы оперировать с функциями способом, принятым в λ-исчислении . Это делает их естественными категорными моделями типизированного λ-исчисления .

Определение

Категория C называется декартово замкнутой , если она удовлетворяет трём условиям:

• в C имеется терминальный объект ;
• любые два объекта X , Y в C имеют произведение X × Y ;
• любые два объекта Y , Z в C имеют экспоненциал Z ^Y .

Категория, такая, что для любого её объекта категория объектов над ним декартово замкнута, называется локально декартово замкнутой .

Примеры декартово замкнутых категорий

• Категория множеств естественным образом представляет собой декартово замкнутую категорию, так как функции из одного множества в другое являются множеством, и, следовательно, объектом. Также в ней существуют произведения ( декартовы произведения ) и терминальные объекты — синглетоны .

• Категория Cat всех малых категорий (и функторов в качестве морфизмов) декартово замкнута; экспоненциал C ^D — это категория функторов из D в C с естественными преобразованиями в качестве морфизмов. Также существует категория произведения и терминальный объект — категория 1 из одного объекта и одного морфизма.

• Элементарный топос является декартово замкнутой категорией по определению.

• ( англ. ) также является стандартным примером декартово замкнутой категории. Так как булева алгебра является её частным случаем, она тоже всегда декартово замкнута.

Применение

В декартово замкнутой категории «функция двух переменных» (морфизм f : X × Y → Z ) всегда может быть представлена как «функция одной переменной» (морфизм λ f : X → Z ^Y ). В программировании эта операция известна как каррирование ; это позволяет интерпретировать просто типизированное лямбда-исчисление в любой декартово замкнутой категории. Декартово замкнутые категории служат категорной моделью для типизированного ${\displaystyle \lambda }$ -исчисления и комбинаторной логики .

Соответствие Карри — Ховарда предоставляет изоморфизм между интуиционистской логикой, просто типизированным лямбда-исчислением и декартово замкнутыми категориями. Определённые декартово замкнутые категории ( топосы ) предлагались как основные объекты альтернативных оснований математики вместо традиционной теории множеств .

Примечания

Литература

• Curien P.-L. Categorical combinatory logic.-- LNCS, 194, 1985, pp.~139—151.
• Roy L. Crole , Categories for Types, Cambridge University Press, 1994.