Interested Article - Экспоненциал

Экспоненциал теоретико-категорный аналог множества функций в теории множеств . Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми .

Определение

Пусть в категории существуют бинарные произведения . Тогда экспоненциал можно определить как универсальный морфизм из функтора в . (Функтор из в отображает объект в и морфизмы в ).

Более явно, экспоненциал объектов и — это такой объект, вместе с морфизмом , называемым отображением оценки , что для любого объекта и морфизма существует единственный морфизм , для которого следующая диаграмма коммутативна:

Universal property of the exponential object
Universal property of the exponential object

Если экспоненциал существует для всех в , то функтор, отправляющий в является правым сопряжённым к . В этом случае существует естественная биекция:

.

Примеры

В категории множеств экспоненциал — это множество всех функций из в ( кардинальная степень ). Для любого отображения отображение — это каррированная форма :

.

В категории топологических пространств экспоненциал существует, если локально компактное хаусдорфово пространство . В этом случае — это множество непрерывных функций из в с компактно-открытой топологией . Если не локально компактное хаусдорфово пространство, экспоненциал может не существовать (пространство будет существовать, но отображение может перестать быть непрерывным). По этой причине категория топологических пространств не является декартово замкнутой .

Литература

  • Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М. : Мир , 1983. — 488 с.
  • Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .
  • Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. (англ.) . — John Wiley & Sons , 2006.
Источник —

Same as Экспоненциал