Экспоненциал
—
теоретико-категорный
аналог множества функций в
теории множеств
. Категории, в которых существуют конечные
пределы
и экспоненциалы, называются
декартово замкнутыми
.
Определение
Пусть в категории
C
{\displaystyle C}
существуют бинарные
произведения
. Тогда экспоненциал
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
можно определить как
универсальный морфизм
из
функтора
[
−
]
×
Y
{\displaystyle [-]\times Y}
в
Z
{\displaystyle Z}
. (Функтор
[
−
]
×
Y
{\displaystyle [-]\times Y}
из
C
{\displaystyle C}
в
C
{\displaystyle C}
отображает объект
X
{\displaystyle X}
в
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
и
морфизмы
φ
{\displaystyle \varphi }
в
φ
×
i
d
Y
{\displaystyle \varphi \times \mathrm {id} _{Y}}
).
Более явно, экспоненциал
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
объектов
Z
{\displaystyle Z}
и
Y
{\displaystyle Y}
— это такой объект, вместе с морфизмом
e
v
a
l
:
Z
Y
×
Y
→
Z
{\displaystyle eval\colon Z^{Y}\times Y\to Z}
, называемым
отображением оценки
, что для любого объекта
X
{\displaystyle X}
и морфизма
g
:
X
×
Y
→
Z
{\displaystyle g\colon X\times Y\to Z}
существует единственный морфизм
λ
g
:
X
→
Z
Y
{\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}
, для которого следующая диаграмма коммутативна:
Universal property of the exponential object
Если экспоненциал
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
существует для всех
Z
{\displaystyle Z}
в
C
{\displaystyle C}
, то функтор, отправляющий
Z
{\displaystyle Z}
в
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
является
правым сопряжённым
к
[
−
]
×
Y
{\displaystyle [-]\times Y}
. В этом случае существует
естественная
биекция:
H
o
m
(
X
×
Y
,
Z
)
≅
H
o
m
(
X
,
Z
Y
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})}
.
Примеры
В
категории множеств
экспоненциал
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
— это множество всех функций из
Y
{\displaystyle Y}
в
Z
{\displaystyle Z}
(
кардинальная степень
). Для любого отображения
g
:
(
X
×
Y
)
→
Z
{\displaystyle g\colon (X\times Y)\rightarrow Z}
отображение
λ
g
:
X
→
Z
Y
{\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}
— это
каррированная
форма
g
{\displaystyle g}
:
λ
g
(
x
)
(
y
)
=
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle \lambda g(x)(y)=g(x,y)}
.
В
категории топологических пространств
экспоненциал
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
существует, если
Y
{\displaystyle Y}
—
локально компактное хаусдорфово пространство
. В этом случае
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
— это множество непрерывных функций из
Y
{\displaystyle Y}
в
Z
{\displaystyle Z}
с
компактно-открытой топологией
. Если
Y
{\displaystyle Y}
не локально компактное хаусдорфово пространство, экспоненциал может не существовать (пространство
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
будет существовать, но отображение
λ
{\displaystyle \lambda }
может перестать быть непрерывным). По этой причине категория топологических пространств не является
декартово замкнутой
.
Литература
Голдблатт Р.
Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. —
М.
:
Мир
, 1983. — 488 с.
Маклейн С.
Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред.
В. А. Артамонова
. —
М.
: Физматлит, 2004. — 352 с. —
ISBN 5-9221-0400-4
.