Экспоненциал — теоретико-категорный аналог множества функций в теории множеств . Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми .

Определение

Пусть в категории ${\displaystyle C}$ существуют бинарные произведения . Тогда экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ можно определить как универсальный морфизм из функтора ${\displaystyle [-]\times Y}$ в ${\displaystyle Z}$ . (Функтор ${\displaystyle [-]\times Y}$ из ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle C}$ отображает объект ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X\times Y}$ и морфизмы ${\displaystyle \varphi }$ в ${\displaystyle \varphi \times \mathrm {id} _{Y}}$ ).

Более явно, экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ объектов ${\displaystyle Z}$ и ${\displaystyle Y}$ — это такой объект, вместе с морфизмом ${\displaystyle eval\colon Z^{Y}\times Y\to Z}$ , называемым отображением оценки , что для любого объекта ${\displaystyle X}$ и морфизма ${\displaystyle g\colon X\times Y\to Z}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ , для которого следующая диаграмма коммутативна:

Если экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ существует для всех ${\displaystyle Z}$ в ${\displaystyle C}$ , то функтор, отправляющий ${\displaystyle Z}$ в ${\displaystyle Z^{Y}}$ является правым сопряжённым к ${\displaystyle [-]\times Y}$ . В этом случае существует естественная биекция:

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})}$ .

Примеры

В категории множеств экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ — это множество всех функций из ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle Z}$ ( кардинальная степень ). Для любого отображения ${\displaystyle g\colon (X\times Y)\rightarrow Z}$ отображение ${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ — это каррированная форма ${\displaystyle g}$ :

${\displaystyle \lambda g(x)(y)=g(x,y)}$ .

В категории топологических пространств экспоненциал ${\displaystyle Z^{Y}}$ существует, если ${\displaystyle Y}$ — локально компактное хаусдорфово пространство . В этом случае ${\displaystyle Z^{Y}}$ — это множество непрерывных функций из ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle Z}$ с компактно-открытой топологией . Если ${\displaystyle Y}$ не локально компактное хаусдорфово пространство, экспоненциал может не существовать (пространство ${\displaystyle Z^{Y}}$ будет существовать, но отображение ${\displaystyle \lambda }$ может перестать быть непрерывным). По этой причине категория топологических пространств не является декартово замкнутой .

Литература

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М. : Мир , 1983. — 488 с.
• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. (англ.) . — John Wiley & Sons , 2006.