В теория категорий , замкнутая моноидальная категория — это категория, позволяющая брать тензорные произведения объектов, а также рассматривать объекты, соответствующие множествам морфизмов. Классический пример — категория множеств , в которой существует декартово произведение множеств , а также множество функций между двумя множествами. «Объект, соответствующий множеству морфизмов» обычно называют внутренним Hom .

Определение

Симметричная моноидальная категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ называется замкнутой , если для любого её объекта ${\displaystyle B}$ функтор , задаваемый тензорным умножением на ${\displaystyle B}$ справа:

${\displaystyle A\mapsto A\otimes B}$

имеет правый сопряженный , обозначаемый

${\displaystyle A\mapsto (B\Rightarrow A).}$

Это значит, что существует биекция, называемая ' каррированием ', между множествами

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)}$

которая естественна по A и по C .

Эквивалентным образом, замкнутая моноидальная категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — это категория, снабженная, для любых двух объектов A и B ,

• объектом ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ,
• и морфизмом ${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B}$ ,

удовлетворяющих следующему универсальному свойству : для любого морфизма

${\displaystyle f:X\otimes A\to B}$

существует единственный морфизм

${\displaystyle h:X\to A\Rightarrow B}$

такой что

${\displaystyle f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).}$

Можно показать, что эта конструкция задает функтор ${\displaystyle \Rightarrow :C^{op}\otimes C\to C}$ . Этот функтор называется внутренним функтором Hom . Для объекта ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ используются многие другие обозначения, например, когда тензорное произведение в C — декартово произведение множеств, он обычно обозначается ${\displaystyle B^{A}}$ и называется экспоненциалом .

Бизамкнутые категории

В случае симметричной моноидальной категории функторы тензорного умножения слева и тензорного умножения справа естественно изоморфны , поэтому для определения замкнутости можно использовать любой из них. Если же категория несимметрична, приведенное выше определение соответствует моноидальной категории, замкнутой справа , поскольку мы потребовали только, что тензорное умножение на объект ${\displaystyle A}$ справа имеет правый сопряженный функтор. Замкнутая слева моноидальная категория — это та, в которой тензорное умножение на объект ${\displaystyle A}$ слева

${\displaystyle B\mapsto A\otimes B}$

имеет левый сопряженный

${\displaystyle B\mapsto (B\Leftarrow A)}$

Бизамкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория, которая замкнута слева и справа.

Примеры

• Как уже было сказано выше, категория Set является замкнутой моноидальной. Она также является декартово замкнутой , а любая декартово замкнутая категория является моноидальной замкнутой.
• Категория FdVect конечномерных векторных пространств и линейных отображений, с обычным тензорным произведением , является замкнутой моноидальной. Здесь ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ — векторное пространство линейных отображений из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$ (изоморфное пространству матриц).

Примечания

• Kelly,G.M., от 8 сентября 2012 на Wayback Machine , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (C.U.P., 1982)
• Paul-André Melliès, Categorical Semantics of Linear Logic, 2007
• от 3 июня 2013 на Wayback Machine на