Interested Article - Замкнутая моноидальная категория
- 2021-02-01
- 1
В теория категорий , замкнутая моноидальная категория — это категория, позволяющая брать тензорные произведения объектов, а также рассматривать объекты, соответствующие множествам морфизмов. Классический пример — категория множеств , в которой существует декартово произведение множеств , а также множество функций между двумя множествами. «Объект, соответствующий множеству морфизмов» обычно называют внутренним Hom .
Определение
Симметричная моноидальная категория называется замкнутой , если для любого её объекта функтор , задаваемый тензорным умножением на справа:
имеет правый сопряженный , обозначаемый
Это значит, что существует биекция, называемая ' каррированием ', между множествами
которая естественна по A и по C .
Эквивалентным образом, замкнутая моноидальная категория — это категория, снабженная, для любых двух объектов A и B ,
- объектом ,
- и морфизмом ,
удовлетворяющих следующему универсальному свойству : для любого морфизма
существует единственный морфизм
такой что
Можно показать, что эта конструкция задает функтор . Этот функтор называется внутренним функтором Hom . Для объекта используются многие другие обозначения, например, когда тензорное произведение в C — декартово произведение множеств, он обычно обозначается и называется экспоненциалом .
Бизамкнутые категории
В случае симметричной моноидальной категории функторы тензорного умножения слева и тензорного умножения справа естественно изоморфны , поэтому для определения замкнутости можно использовать любой из них. Если же категория несимметрична, приведенное выше определение соответствует моноидальной категории, замкнутой справа , поскольку мы потребовали только, что тензорное умножение на объект справа имеет правый сопряженный функтор. Замкнутая слева моноидальная категория — это та, в которой тензорное умножение на объект слева
имеет левый сопряженный
Бизамкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория, которая замкнута слева и справа.
Примеры
- Как уже было сказано выше, категория Set является замкнутой моноидальной. Она также является декартово замкнутой , а любая декартово замкнутая категория является моноидальной замкнутой.
- Категория FdVect конечномерных векторных пространств и линейных отображений, с обычным тензорным произведением , является замкнутой моноидальной. Здесь — векторное пространство линейных отображений из в (изоморфное пространству матриц).
Примечания
- Kelly,G.M., от 8 сентября 2012 на Wayback Machine , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (C.U.P., 1982)
- Paul-André Melliès, Categorical Semantics of Linear Logic, 2007
- от 3 июня 2013 на Wayback Machine на
- 2021-02-01
- 1