Interested Article - Мнимая единица
- 2021-10-07
- 1
Мни́мая едини́ца — комплексное число , квадрат которого равен . В математике, физике мнимая единица обозначается латинской буквой (в электротехнике: ) .
Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел . Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры . Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.
Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения : при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.
Вплоть до конца XIX века наряду с символом использовалось обозначение однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения . Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен — число в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:
- числа i и − i являются одновременно противоположными и обратными : последнее верно потому, что произведение этих чисел равно 1 ;
- i и − i комплексно сопряжены , так что их сумма (ноль) и произведение (единица) вещественны одновременно ( свойства сопряжённых чисел).
Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений
.Степени мнимой единицы
Степени повторяются в цикле:
что может быть записано для любой степени в виде:
где n — любое целое число.
Отсюда: , где mod 4 — это остаток от деления на 4.
Возведение в комплексную степень является многозначной функцией . Например, таковой является величина , которая представляет бесконечное множество вещественных чисел ( ):
- где
При получаем число соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма ) мнимой единицы.
- Представим основание в виде комплексной экспоненты (в этом случае её показателем будет комплексный логарифм ):
Альтернативным путем является представление основания в показательной форме :
Нетрудно убедиться, что оба полученных выражения тождественно равны.
Найдем модуль и аргумент числа :
- , где
Подставим полученные значения для модуля и аргумента в выражение для :
Таким образом, получаем:
- , где ∎
И очевидно, что:
- Теперь докажем, что число является частным значением , которое соответствует главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма ) мнимой единицы.
Ранее было найдено главное значение аргумента мнимой единицы (т.е. такое, что попадает в промежуток ):
Подставляя его вместо в выражение для , получим искомое частное значение:
Также верно, что .
Факториал
Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i :
Также
потому что | i !| 2 = i ! i ! = i ! ( i ) ! = Γ(1 + i ) Γ(1 − i ) , что по рекуррентному соотношению гамма-функции можно переписать как i Γ( i ) Γ(1 − i ) , а затем по формуле дополнения Эйлера — как i π / sin π i = π / sinh π .
Корни из мнимой единицы
В поле комплексных чисел корень n -й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n -угольника , вписанного в окружность с единичным радиусом.
В частности, и
Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:
Иные мнимые единицы
В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения .
К вопросу об интерпретации и названии
Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √ −1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √ −1 символ i . Морис Клайн , «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.
Обозначения
Обычное обозначение — , но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать , чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока : .
В языке программирования
Python
мнимая единица записывается как
1j
.
В языке программирования
Wolfram Language
мнимая единица записывается как
𝕚
.
См.также
Примечания
- // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- Мнимая единица // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 3. — С. 708.
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — С. 49. — 591 с.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М. : Наука, 1970. — С. 33. — 720 с.
- " от 6 июля 2015 на Wayback Machine ", WolframAlpha .
Ссылки
- Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- 2021-10-07
- 1