Interested Article - Геометрическая фигура

Фигу́ра ( лат. figura — внешний вид, образ) ( англ. shape ) — геометрический термин, формально применимый к произвольному множеству точек . Обычно это конечное число точек, линий или поверхностей, в том числе и в единственном числе: точка, линия или поверхность .

Общие определения

Фигу́ра — любое множество точек. Точка — элемент пространства. Пространство — пара множеств :

множество $M$ произвольных элементов ;
некоторая группа $G$ преобразований множества $M$ .

Эквивалентные фигуры. Геометрия группы

Фигура $A$ эквивалентна, или равна , фигуре $B$ , если в группе $G$ имеется преобразование, переводящее $A$ в $B$ . Группа преобразований необходима для того, чтобы выполнялись симметричность и транзитивность свойства эквивалентности фигур, без чего понятие эквивалентности не имет смысла. Другими словами, использование группы преобразований делает истинными следующие два утверждения :

если фигура $A$ эквивалентна фигуре $B$ , то тогда и $B$ эквивалентна $A$ , другими словами, $A$ и $B$ эквивалентны;

Доказательство

Пусть фигура $A$ эквивалентна фигуре $B$ , тогда существует преобразование $g$ группы $G$ , переводящее $A$ в $B$ . Поскольку $G$ — группа, в $G$ существует обратное преобразование $g^{-1}$ , переводящее $B$ в $A$ , то есть $B$ эквивалентна $A$ .

если две фигуры $A$ и $B$ эквивалентны третьей $C$ , то тогда $A$ и $B$ эквивалентны.

Доказательство

Пусть фигура $A$ эквивалентна фигуре $C$ , тогда существует преобразование $g$ группы $G$ , переводящее $A$ в $C$ . И пусть фигура $B$ эквивалентна фигуре $C$ , тогда существует преобразование $h$ группы $G$ , переводящее $B$ в $C$ . Поскольку $G$ — группа, в $G$ существует обратное преобразование $h^{-1}$ , переводящее $C$ в $B$ . И поскольку $G$ — группа, в $G$ существует преобразование $h^{-1}g$ , которое есть последовательное выполнение $g$ и $h^{-1}$ , переводящее $A$ в $B$ , то есть $A$ и $B$ эквивалентны.

Свойства и арифметические характеристики фигур пространства $M$ называются, согласно автору Эрлангенской программы Феликсу Клейну , геометрическими , если они не изменяются при любых преобразованиях группы $G$ , другими словами, если они одинаковы для эквивалентных фигур. Геометрией группы $G$ называется система утверждений о геометрических свойствах и арифметических характеристиках фигур .

Группы автоморфизмов

Автоморфным преобразованием, или автоморфизмом , относительно некоторой фигуры $U$ произвольного пространства $M$ с какой-нибудь группой преобразований $G$ называется такое преобразование группы $G$ , которое переводит в самоё себя (то есть отображает на себя) эту фигуру $U$ . Автоморфизм перемещает любую точку фигуры $U$ снова в некоторую точку этой фигуры, в частности, в ту же самую точку .

Особенности группы преобразований делает истинными следующее утверждение :

множество всех автоморфизмов данной группы $G$ относительно любой фигуры $U$ есть группа — подгруппа группы $G$ .

Доказательство

1. Пусть имеются два любых автоморфизма, то есть любые два преобразования группы $G$ , отображающие некоторую фигуру $U$ на себя. Тогда, поскольку $G$ — группа, их последовательное выполнение есть снова преобразование $G$ , отображающее $U$ на себя. Таким образом, последовательное выполнение двух автоморфизмов есть снова автоморфизм.

2. Пусть имеется любой автоморфизм, то есть любое преобразования группы $G$ , отображающее некоторую фигуру $U$ на себя. Тогда, поскольку $G$ — группа, обратное преобразование есть снова преобразование $G$ , причём отображающее $U$ на себя. Таким образом, преобразование, обратное автоморфизму, есть снова автоморфизм.

Так как $G$ — группа преобразований, этих двух свойств автоморфизмов достаточно для того, чтобы множество всех автоморфизмов данной группы $G$ относительно любой фигуры $U$ было группой — подгруппой группы $G$ .

Фигуры на плоскости

Обычно фигурой на плоскости называют замкнутые множества , которые ограничены конечным числом линий . При этом допускаются вырождения , например: угол , луч и точка считаются геометрическими фигурами.

Если все точки фигуры лежат в некоторой плоскости — она называется плоской и она может быть задана уравнением $g(x,y)=0$ .

Порядок (степень) фигуры — это порядок (степень) уравнения , которым она задана .

Фигуры в (трёхмерном) пространстве

Если Φ — фигура, состоящая из всех точек (трёхмерного) пространства, удовлетворяющих уравнению $f(x,y,z)=0$ , то данное уравнение — уравнение фигуры , оно задает фигуру Φ .

См. также

Тело (геометрия)

Примечания

.
↑ , 158. Геометрия данной группы, с. 409.
, 158. Геометрия данной группы, с. 410.
, 162. Группы автоморфизмов, с. 414—415.
↑ , 162. Группы автоморфизмов, с. 415.
↑ Милованов М. В., Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Часть 1 // Алгебра и аналитическая геометрия. — Минск: Вышэйшая школа, 1984. — С. 221. — 305 с.