Данная статья описывает производные вещественных функций. О производной комплексных функций см. Комплексный анализ .

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления , характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (при условии, что такой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием . Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование .

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела , однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Ньютон называл производную флюксией , обозначая точкой над символом функции, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал .

Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов , переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée , используемый французским математиком Лагранжем .

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ определена функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Производной функции называется такое число ${\displaystyle A}$ , что функцию в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ можно представить в виде

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h),h\rightarrow 0}$

если ${\displaystyle A}$ существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ определена функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Производной функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется предел , если он существует,

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}.}$

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x ₀

${\displaystyle f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).}$

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике и физике, исторически часто тоже).

Таблица производных

Производные степенных функций	Производные тригонометрических функций	Производные обратных тригонометрических функций	Производные гиперболических функций
${\displaystyle \left(const\right)^{(n)}=0}$	${\displaystyle \left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2}})}$	${\displaystyle \left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x}$
${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}}$	${\displaystyle \left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2}})}$	${\displaystyle \left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}$
${\displaystyle \left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a}$	${\displaystyle \left(\operatorname {tg} x\right)'=\sec ^{2}x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$	${\displaystyle (\tanh x)'=\operatorname {sch} ^{2}x}$
${\displaystyle \left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$	${\displaystyle (\coth x)'=-\operatorname {csch} ^{2}x}$
${\displaystyle \left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}\ln a}}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {sec} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcsec} x\right)'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$	${\displaystyle (\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x}}}$
${\displaystyle (\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$	${\displaystyle (\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x}}}$

Дифференцируемость

Производная ${\displaystyle f'(x_{0})}$ функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция ${\displaystyle f}$ является дифференцируемой в точке ${\displaystyle x_{0}}$ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).}$

Для дифференцируемой в ${\displaystyle x_{0}}$ функции ${\displaystyle f}$ в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ справедливо представление

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}.}$

Замечания

• Назовём ${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$ приращением аргумента функции, а ${\displaystyle \Delta y=f(x)-f(x_{0})}$ или ${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$ приращением значения функции в точке ${\displaystyle x_{0}.}$ Тогда

  ${\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}.}$

• Пусть функция ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$ имеет конечную производную в каждой точке ${\displaystyle x_{0}\in (a,b).}$ Тогда определена произво́дная фу́нкция

  ${\displaystyle f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .}$

• Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
• Если производная функция сама является непрерывной, то функцию ${\displaystyle f}$ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: ${\displaystyle f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.}$

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Если функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R} }$ имеет конечную производную в точке ${\displaystyle x_{0},}$ то в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ её можно приблизить линейной функцией

${\displaystyle f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}$

Функция ${\displaystyle f_{l}}$ называется касательной к ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}.}$ Число ${\displaystyle f'(x_{0})}$ является угловым коэффициентом ( угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Тангенс можно рассматривать как масштабирующий коэффициент или коэффициент сравнения: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны.

Изначально тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, т. е. м ∕ с.

Скорость изменения функции

Пусть ${\displaystyle s=s(t)}$ — закон прямолинейного движения . Тогда ${\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})}$ выражает мгновенную скорость движения в момент времени ${\displaystyle t_{0}}$ . Новая функция ${\displaystyle s'(t)}$ также имеет производную. Эта т. н. вторая производная, обозначается как ${\displaystyle s''(t)}$ , а функция ${\displaystyle a(t_{0})=s''(t_{0})}$ выражает мгновенное ускорение в момент времени ${\displaystyle t_{0}.}$

Вообще производная функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ выражает скорость изменения функции в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , то есть скорость протекания , описанного зависимостью ${\displaystyle y=f(x).}$

В приложениях

При описании процессов и в теории управления производную рассматривают как реакцию процесса (функции) на управляющий этим процессом параметр (независимое переменное); насколько интенсивно реагирует процесс на управляющий сигнал (насколько он чувствителен к нему); какое изменение процесса вызывает небольшое изменение управляющего воздействия.

В геометрических задачах производная рассматривается как изменение высоты криволинейной трапеции на малом участке ее основания (криволинейную трапецию можно рассматривать как прямоугольник с переменной высотой); изменение радиуса фигуры вращения на малом участке ее оси вращения (фигура вращения рассматривается как цилиндр с переменным радиусом) и т. п.

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно . Полагаем

${\displaystyle f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).}$

Если функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в ${\displaystyle x_{0}}$ , то производная первого порядка определяется соотношением

${\displaystyle f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).}$

Пусть теперь производная ${\displaystyle n}$ -го порядка ${\displaystyle f^{(n)}}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ и дифференцируема. Тогда

${\displaystyle f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).}$

В частности, вторая производная является производной от производной:

${\displaystyle f''(x_{0})=(f'(x))'|_{x=x_{0}}}$ .

Если функция ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$ имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от ${\displaystyle x,y,z,}$ может иметь в некоторой точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$ эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

${\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ или ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ или ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}}$

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной . Например,

${\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}$

Класс функций, у которых производная ${\displaystyle n}$ -порядка является непрерывной, обозначается как ${\displaystyle C^{(n)}}$ .

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

• Лагранжа ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}$ , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры :

${\displaystyle f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),}$

${\displaystyle f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),}$

${\displaystyle f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),}$

${\displaystyle f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),}$ и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

• Лейбница , удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если ${\displaystyle x}$ — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

${\displaystyle {\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})}$

• Ньютона , которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

${\displaystyle {\dot {x}}(t_{0})}$ — производная первого порядка ${\displaystyle x}$ по ${\displaystyle t}$ при ${\displaystyle t=t_{0}}$ , или ${\displaystyle {\ddot {f}}(x_{0})}$ — вторая производная ${\displaystyle f}$ по ${\displaystyle x}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и т. д.

• Эйлера , использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом :

${\displaystyle \mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})}$ , или иногда ${\displaystyle \partial ^{n}\!f(x_{0})}$ .

• В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение ${\displaystyle f_{x}}$ , ${\displaystyle f_{xx}}$ ; для значения производной в точке — ${\displaystyle f_{x}\vert _{x=x_{0}}}$ . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{раз}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{раз}}}}\vert _{x=x_{0}}.}$

Примеры

• Пусть ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ . Тогда

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.}$

• Пусть ${\displaystyle f(x)=|x|}$ . Тогда если ${\displaystyle x_{0}\neq 0,}$ то

${\displaystyle f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},}$

где ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ обозначает функцию знака . А если ${\displaystyle x_{0}=0,}$ то ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,}$ а следовательно ${\displaystyle f'(x_{0})}$ не существует.

Теоремы, связанные с дифференцированием

Для непрерывных функций ${\displaystyle f,g}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ , дифференцируемых на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ справедливы:

Лемма Ферма . Если ${\displaystyle f}$ принимает максимальное или минимальное значение в точке ${\displaystyle c}$ и существует ${\displaystyle f'(c)}$ , то ${\displaystyle f'(c)=0}$ .

Теорема о нуле производной . Если ${\displaystyle f}$ принимает на концах отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ одинаковые значения, то на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Формула конечных приращений . Для ${\displaystyle f}$ найдётся точка ${\displaystyle c\in (a,b)}$ , такая что ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}$ .

Теорема Коши о среднем значении . Если ${\displaystyle g'}$ не равна нулю на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ , то найдётся такая точка ${\displaystyle c\in (a,b)}$ , что ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$ .

Правило Лопиталя . Если ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$ или ${\displaystyle \infty }$ , причём ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ для всякого ${\displaystyle x}$ из некоторой проколотой окрестности ${\displaystyle c}$ и существует ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ , то ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ .

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если ${\displaystyle C}$ — постоянное число и ${\displaystyle f=f(x),g=g(x)}$ — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

• ${\displaystyle C'=0}$
• ${\displaystyle x'=1}$
• ${\displaystyle \left(f+g\right)'=f'+g'}$

• ${\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'}$

• ${\displaystyle \left(Cf\right)'=Cf'}$
• ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ …(g ≠ 0)

• ${\displaystyle \left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}}$ (g ≠ 0)
• Если функция задана параметрически:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.}$ , то ${\displaystyle y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}}$
• Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования ( формула Лейбница ):

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}$ где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — биномиальные коэффициенты .

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

• если функция дифференцируема на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ , то она непрерывна на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ . Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция ${\displaystyle y(x)=|x|}$ на ${\displaystyle [-1,1]}$ );
• если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном ${\displaystyle x}$ , то ${\displaystyle f'(x)=0}$ (это так называемая лемма Ферма );
• производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
• ${\displaystyle (f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)}$

Таблица производных некоторых функций

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Производная ${\displaystyle f'(x)}$	Примечание
${\displaystyle x^{\alpha }}$	${\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1}}$	Доказательство Фиксируем ${\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}$ , придадим приращение аргументу ${\displaystyle \Delta x}$ . Вычислим приращение функции: ${\displaystyle \Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}$ , т.о ${\displaystyle (x^{\alpha })'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}{\Delta x}}=}$ См. ${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x}}}{\Delta x}}=\alpha \cdot x^{\alpha -1}}$
${\displaystyle a^{x}}$	${\displaystyle a^{x}\cdot \ln {a}}$	Доказательство Фиксируем ${\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}$ , придадим приращение аргументу ${\displaystyle \Delta x}$ . Вычислим приращение функции: ${\displaystyle \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)}$ , т.о ${\displaystyle (a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=}$ См. ${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}}$
${\displaystyle \log _{a}{x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}}$	Доказательство ${\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a}}}\cdot (\ln {x})'}$ Узнаем производную ${\displaystyle \ln {x}}$ через производную обратной функции : ${\displaystyle y_{x}=\ln {x}\Rightarrow x_{y}=e^{y},}$ ${\displaystyle y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}}$ Получаем: ${\displaystyle (\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$	Доказательство Фиксируем ${\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}$ , придадим приращение аргументу ${\displaystyle \Delta x}$ . Вычислим приращение функции: ${\displaystyle \Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta x-x}{2}})\cdot cos({\frac {x+\Delta +x}{2}})=2sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}$ , т.о ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}}$ ( См. ) ${\displaystyle \cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}=cos(x)}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$	Доказательство Фиксируем ${\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}$ , придадим приращение аргументу ${\displaystyle \Delta x}$ . Вычислим приращение функции: ${\displaystyle \Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2}})\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2}})=-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}$ , т.о ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}}$ ( См. ) ${\displaystyle \cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})}=-sin(x)}$
${\displaystyle \mathrm {tg} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}}$	Доказательство 1 Фиксируем ${\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}$ , придадим приращение аргументу ${\displaystyle \Delta x}$ . Вычислим приращение функции: ${\displaystyle \Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta x-x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}={\frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}}$ , т.о. ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot }$ ( См. ) ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}={\frac {1}{cos^{2}(x)}}}$ Доказательство 2 ${\displaystyle (tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x)}})'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x))}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}}={\frac {1}{cos^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \mathrm {ctg} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}}$	Доказательство ${\displaystyle (ctgx)'=({\frac {cos(x)}{sin(x)}})'={\frac {(cos(x))'\cdot sin(x)-cos(x)\cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sin^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \mathrm {sec} \ x}$	${\displaystyle \mathrm {sec} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x}$	Доказательство ${\displaystyle (sec(x))'=({\frac {1}{cos(x)}})'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=sec(x)\cdot tg(x)}$
${\displaystyle \mathrm {cosec} \ x}$	${\displaystyle -\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x}$	Доказательство ${\displaystyle (cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x)}})'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)}$
${\displaystyle \arcsin {x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. ${\displaystyle sin(arcsin((x))=x}$ После чего мы должны взять производную этих обеих функций. ${\displaystyle [sin(arcsin((x))]'=x'}$ ${\displaystyle cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1}$ Теперь мы должны выразить производную арксинуса. ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))}}}$ Исходя из тригонометрического тождества( ${\displaystyle sin^{2}x+cos^{2}x=1}$ ) — получаем. ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}}$ Для того чтобы определить знак корня в знаменателе нужно взглянуть на область значений арксинуса. ${\displaystyle E(arcsin(x))=[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}]}$ Так как косинус находится в 1-й и 4-й четвертях, то косинус положительный. ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}$ Отсюда ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos {x}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	Доказательство Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: ${\displaystyle arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle [arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'}$ ${\displaystyle (arcsin(x))'+(arccos(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккосинуса. ${\displaystyle (arccos(x))'=-(arcsin(x))'}$ Получается. ${\displaystyle (arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arctg} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$	Доказательство Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функии: ${\displaystyle tg(arctg(x))=x}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle [tg(arctg(x))]'=1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}\cdot (arctg(x))'=1}$ Теперь мы должны выразить производную арктангенса: ${\displaystyle (arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))}$ Теперь на помощь нам придет на помощь тождество( ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)}}}}$ ): ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}}$ Получается. ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcctg} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}$	Доказательство Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: ${\displaystyle arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle [arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'}$ ${\displaystyle (arctg(x))'+(arcctg(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккотангенса. ${\displaystyle (arcctg(x))'=-(arctg(x))'}$ Получается. ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcsec} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$	Доказательство Найти производную арксеканса можно при помощи тождества: ${\displaystyle arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x}})}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x}}))'}$ ${\displaystyle (arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})}$ ${\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}$ ${\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}}$ Получается. ${\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arccosec} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$	Доказательство Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества: ${\displaystyle arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2}}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. ${\displaystyle [arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'}$ ${\displaystyle (arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0}$ Теперь выражаем производную арккосинуса. ${\displaystyle (arccosec(x))'=-(arcsec(x))'}$ Получается. ${\displaystyle (arccosec(x))'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {sh} \ x}$	${\displaystyle \mathrm {ch} \ x}$	Доказательство ${\displaystyle (\operatorname {sh} {x})'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-(-1)\cdot e^{-x})={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\operatorname {ch} {x}}$
${\displaystyle \mathrm {ch} \ x}$	${\displaystyle \mathrm {sh} \ x}$	Доказательство ${\displaystyle (\operatorname {ch} {x})'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+(-1)\cdot e^{-x})=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)=\operatorname {sh} {x}}$
${\displaystyle \mathrm {th} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}}$	Доказательство ${\displaystyle (th(x))'=({\frac {sh(x)}{ch(x)}})'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {1}{ch^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \mathrm {cth} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}}$	Доказательство ${\displaystyle (cthx)'=({\frac {ch(x)}{sh(x)}})'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sh^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \mathrm {sch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {\operatorname {sh} (x)}{\operatorname {ch} ^{2}(x)}}}$	Доказательство ${\displaystyle (sch(x))'=({\frac {1}{ch(x)}})'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \mathrm {csch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {\operatorname {ch} (x)}{\operatorname {sh} ^{2}(x)}}}$	Доказательство ${\displaystyle (csch(x))'=({\frac {1}{sh(x)}})'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \mathrm {arsh} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$	Доказательство ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}+1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arch} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}-1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$	Доказательство ${\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$	Доказательство ${\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arsech} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcsch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}}$

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ по параметру:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}}$ .

Если производная в точке ${\displaystyle t}$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут ${\displaystyle x'(t),\ y'(t),\ z'(t)}$ .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$ — производная суммы есть сумма производных.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}$ — здесь ${\displaystyle f(t)}$ — дифференцируемая скалярная функция .
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$ — дифференцирование скалярного произведения .
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]}$ — дифференцирование векторного произведения .
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)}$ — дифференцирование смешанного произведения .

Способы задания производных

• Производная Джексона :

${\displaystyle D_{x}^{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$

Вариации и обобщения

• Обобщения производных
  • Дробная производная
  • Производная Пеано
  • Частная производная

См. также

Примечания

Литература

• Виленкин Н., Мордкович А. Что такое производная // Квант. — 1975. — № 12 .
• В. Г. Болтянский , Что такое дифференцирование?, « Популярные лекции по математике », Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
• В. А. Гусев , А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления », том 1
• В. М. Бородихин , , учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Ссылки

• « » — перевод статьи (англ.)