Вторая производная или производная второго порядка функции ${\displaystyle f}$ является производной от производной от ${\displaystyle f}$ . Грубо говоря, вторая производная измеряет, как изменяется скорость изменения самой величины; например, вторая производная положения объекта по времени — это мгновенное ускорение объекта или скорость изменения скорости объекта по времени. В нотации Лейбница :

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},}$

где ${\displaystyle a}$ — ускорение, ${\displaystyle v}$ — скорость, ${\displaystyle t}$ — время, ${\displaystyle x}$ — положение объекта, d — мгновенная «дельта» или изменение. Последнее выражение ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}}$ является второй производной положения ${\displaystyle (x)}$ по времени.

На графике функции вторая производная соответствует кривизне или выпуклости графика. График функции с положительной второй производной на некотором участке является выпуклым вниз на этом участке, в то время как график функции с отрицательной второй производной на некотором участке изгибается в противоположную сторону на этом участке.

Обозначение

Вторая производная функции ${\displaystyle f(x)}$ обычно обозначается ${\displaystyle f''(x)}$ . То есть:

${\displaystyle f''=\left(f'\right)'}$ .

При использовании нотации Лейбница , частная вторая производная зависимой переменной ${\displaystyle y}$ по независимой переменной ${\displaystyle x}$ записывается как:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Данное обозначение получено из следующей формулы:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Вторая производная степенной функции

Взяв два раза производную, получается формула второй производной:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}$

Пример

Дана функция

${\displaystyle f(x)=x^{3},}$

производная от ${\displaystyle f}$ — функция

${\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}.}$

Вторая производная от ${\displaystyle f}$ является производной от ${\displaystyle f^{\prime }}$ , а именно

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=\left(f'\left(x\right)\right)'=6x.}$

Вторая производная на графике

Выпуклость

Вторая производная функции ${\displaystyle f}$ может использоваться для определения выпуклости/вогнутости графика ${\displaystyle f}$ . Функция, вторая производная которой положительна, будет выпуклой вниз (также называется вогнутой вверх), что означает, что касательная будет лежать ниже графика функции. Точно так же функция, у которой вторая производная отрицательна, будет выпукла вверх (также называется просто вогнутой вниз), а её касательные линии будут лежать над графиком функции.

Точки перегиба

Если вторая производная функции меняет знак, то график функции меняется с выпуклого вверх на выпуклый вниз или наоборот. Точка, в которой график уже не выпуклый вверх, но еще не выпуклый вниз, называется точкой перегиба . Если вторая производная непрерывна, она принимает нулевое значение в любой точке перегиба, однако стоит учитывать, что не каждая точка, в которой вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

Исследование стационарных точек

Связь второй производной и графика можно использовать для проверки того, является ли стационарная точка функции (то есть точка, где ${\displaystyle f'(x)=0}$ ) локальным максимумом или локальным минимумом . Более подробно:

• Если ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0}$ , тогда ${\displaystyle f}$ имеет локальный максимум в точке ${\displaystyle x}$ .
• Если ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0}$ , тогда ${\displaystyle f}$ имеет локальный минимум в точке ${\displaystyle x}$ .
• Если ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0}$ , проверка второй производной ничего не говорит о том, является ли точка ${\displaystyle x}$ стационарной точкой.

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно понять с помощью аналогии с реальным миром. Рассмотрим транспортное средство, которое вначале движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным ускорением . Ясно, что положение автомобиля в точке, где скорость достигает нуля, будет наибольшим расстоянием от начального положения — следующим шагом скорость станет отрицательной, и автомобиль начнет ехать в противоположную сторону. То же самое верно и для минимума, когда транспортное средство сначала имеет отрицательную скорость, но положительное ускорение.

Предел

Можно записать вторую производную при помощи всего одного предела :

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

Данный предел можно называть второй симметричной производной . Стоит обратить внимание, что вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная не существует.

Правую часть выражения можно записать в виде разностного отношения разностных отношений:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$

Этот предел можно рассматривать как непрерывную версию для последовательностей .

Однако существование указанного выше предела не означает, что функция ${\displaystyle f}$ имеет вторую производную. Приведенный выше предел просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает представления о ее существовании. Контрпримером является функция ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ , которая определяется как:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,\ \ x<0\\0,\ \ \ \ \ x=0\\1,\ \ \ \ \ x>0\end{cases}}}$

Функция ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ разрывна в нуле, поэтому вторая производная для ${\displaystyle x=0}$ не существует. Но вышеуказанный предел существует для ${\displaystyle x=0}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$

Квадратичная аппроксимация

Так же, как первая производная связана с линейной аппроксимацией, вторая производная связана с квадратичной аппроксимацией для функции ${\displaystyle f}$ . Эта квадратичная функция, первые и вторые производные которой такие же, как у ${\displaystyle f}$ в данной точке. Формула квадратичного приближения функции ${\displaystyle f}$ вокруг точки ${\displaystyle x=a}$ имеет вид

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$

Эта квадратичная аппроксимация представляет собой ряд Тейлора второго порядка для функции с центром в точке x = a .

Собственные значения и собственные векторы второй производной

Для многих краевых задач можно получить явные формулы для собственных значений и собственных векторов оператора второй производной. Например, если предположить, что ${\displaystyle x\in [0,L]}$ и заданы однородные граничные условия Дирихле (то есть ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$ ), то собственные значения ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ и соответствующие собственные векторы (также называемые собственными функциями) равны ${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$ . Здесь ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .}$

Для других известных случаев см. .

Обобщение на более высокие измерения

Гессиан

Вторая производная обобщается на более высокие измерения с помощью понятия вторых частных производных . Для функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ есть три частные производные второго порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ и }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$ ,

и смешанные частные производные:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ и }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$

Если все эти производные непрерывны, то можно составить из них симметричную матрицу, известную как матрица Гессе . Собственные значения этой матрицы можно использовать для реализации многомерного аналога проверки второй производной.

Другим распространенным обобщением второй производной является лапласиан . Это дифференциальный оператор ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ (или же ${\displaystyle \Delta }$ ), определяется как:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

Лапласиан функции равен дивергенции градиента и следу матрицы Гессе.

См. также

• Конечная разность , используемая для аппроксимации второй производной
• Равенство смешанных производных

Примечания

Литература

Печатные ресурсы

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (June 1967), (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (June 1969), (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (December 24, 2002), (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Книги, доступные в интернете

• Crowell, Benjamin (2003),
• Garrett, Paul (2004),
• Hussain, Faraz (2006),
• Keisler, H. Jerome (2000),
• Mauch, Sean (2004), {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (url-status) ( ссылка )
• Sloughter, Dan (2000),
• Strang, Gilbert (1991),
• Stroyan, Keith D. (1997), {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (url-status) ( ссылка )
• Wikibooks,

Ссылки