В математике , производная Пинкерле T’ линейного оператора T : K [ x ] → K [ x ] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End( K [ x ]). T.e. T’ является ещё одним линейным оператором T’ : K [ x ] → K [ x ]

${\displaystyle T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad} (x)T.}$

Более подробно, на многочлене ${\displaystyle p(x)}$ этот оператор действует следующим образом:

${\displaystyle T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathbb {K} [x].}$

Названа в честь итальянского математика Сальваторе Пинкерле .

Свойства

Производная Пинкерле, как и любой коммутатор , является дифференцированием , удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора ${\displaystyle \scriptstyle S}$ и ${\displaystyle \scriptstyle T}$ , принадлежащих ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {End} \left(\mathbb {K} [x]\right)}$ , выполняется

1. ${\displaystyle \scriptstyle {(T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime }}}$ ;
2. ${\displaystyle \scriptstyle {(TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }}}$ где ${\displaystyle \scriptstyle {TS=T\circ S}}$ является композицией операторов ;

Также ${\displaystyle \scriptstyle {[T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]},}$ где ${\displaystyle \scriptstyle {[T,S]=TS-ST}}$ — обычная скобка Ли , что следует из тождества Якоби .

Обычная производная, D = d / dx , является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерле равна

${\displaystyle D'=\left({d \over {dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.}$

По индукции , эта формула обобщается до

${\displaystyle (D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}.}$

Это доказывает, что производная Пинкерле дифференциального оператора

${\displaystyle \partial =\sum a_{n}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}=\sum a_{n}D^{n}}$

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерле есть дифференцирование ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Diff} (\mathbb {K} [x])}$ .

Оператор сдвига

${\displaystyle S_{h}(f)(x)=f(x+h)}$

может быть записан

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}}$

с помощью формулы Тейлора . Тогда его производная Пинкерле равняется

${\displaystyle S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h}.}$

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерле, чей спектр есть все пространство скаляров ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {K} }}$ .

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с S _h или ${\displaystyle \scriptstyle {[T,S_{h}]=0}}$ , мы также имеем: ${\displaystyle \scriptstyle {[T',S_{h}]=0}}$ , так что ${\displaystyle \scriptstyle T'}$ также является инвариантным к тому же сдвигу ${\displaystyle \scriptstyle h}$ .

дискретного времени

${\displaystyle (\delta f)(x)={{f(x+h)-f(x)} \over h}}$

это оператор

${\displaystyle \delta ={1 \over h}(S_{h}-1),}$

чья производная Пинкерле — оператор сдвига ${\displaystyle \scriptstyle {\delta '=S_{h}}}$ .

См. также

• Коммутатор операторов

Ссылки

• Weisstein, Eric W. . MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• на MacTutor History of Mathematics archive .