Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми ) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии ${\displaystyle M}$ .

В координатах ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ где ${\displaystyle n=\dim M,}$ оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть ${\displaystyle (g_{ij})}$ — матрица метрического тензора риманова многообразия, ${\displaystyle (g^{ij})}$ — обратная матрица и ${\displaystyle g=\det(g_{ij})}$ , тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид

${\displaystyle -\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggl (}g^{ij}{\sqrt {g}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\biggr )}.\qquad (*)}$

Примеры

• В случае, когда ${\displaystyle M}$ — область в евклидовом пространстве со стандартной метрикой ${\displaystyle (g_{ij})=(\delta _{ij})}$ — единичная матрица, оператор Лапласа — Бельтрами (*) превращается (с точностью до знака) в оператор Лапласа .

• Пусть ${\displaystyle \dim M=2}$ и метрический тензор имеет вид ${\displaystyle ds^{2}=E(x,y)\,dx^{2}+2F(x,y)\,dxdy+G(x,y)\,dy^{2},}$ тогда формула (*) принимает вид

  ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial y}}-G{\frac {\partial }{\partial x}}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}{\biggr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial x}}-E{\frac {\partial }{\partial y}}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}{\biggr )}.\qquad (**)}$

• Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка ${\displaystyle Lf=0,}$ где оператор ${\displaystyle L}$ задан формулой (**), разрешимо, если функции ${\displaystyle E,F,G}$ аналитические или достаточно гладкие. Этот факт используется для доказательства существования локальных изометрических (конформных) координат на поверхности ${\displaystyle M}$ , т. е. доказательства того, что каждое двумерное риманово многообразие локально конформно эквивалентно евклидовой плоскости.

Литература

• Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
• Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.

Примечания