Когомологии Дольбо — аналог когомологий де Рама для комплексных многообразий . Названны в честь Пьера Дольбо .

Пусть M — комплексное многообразие. Тогда группы когомологий Дольбо ${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )}$ зависят от пары целых чисел p и q и строятся из комплексных дифференциальных форм степени ( p , q ).

Построение групп когомологий

Пусть Ω ^{p , q} — векторное расслоение комплексных дифференциальных форм степени ( p , q ) и

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})}$

— оператор Дольбо . Напомним, что

${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

Этот оператор можно использовать для определения когомологий. В частности, определите когомологии как фактор-пространство

${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )=\ker \left({\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M)\right)/{\bar {\partial }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1}).}$

Теорема Дольбо

Теорема Дольбо является комплексным аналогом теоремы де Рама . Она утвержадет, что когомологии Дольбо изоморфны когомологиям пучка пучка голоморфных дифференциальных форм. То есть

${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})}$

где ${\displaystyle \Omega ^{p}}$ пучок голоморфных p -форм на M .

Литература

• Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ.. — М. : Мир, 1982.
• Dolbeault, Pierre (1953). "Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes". . 236 : 175—277.