Interested Article - Гомологическая алгебра

Гомологическая алгебра — ветвь алгебры , изучающая алгебраические объекты, заимствованные из алгебраической топологии .

Гомологическая алгебра играет важную роль в алгебраической топологии, применяется во многих разделах алгебры, таких, как теория групп, теория алгебр, алгебраическая геометрия, теория Галуа.

История

Первыми гомологические методы в алгебре применили в 40-х годах XX века Дмитрий Константинович Фаддеев , Самуэль Эйленберг и Саундерс Маклейн при изучении расширений групп.

Цепной комплекс

Цепной комплекс — это градуированный модуль $M=\bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }M_{n}$ с дифференциалом $d:M\to M$ , $d^{2}=0$ , понижающим градуировку для цепного комплекса, $d(M_{n})\subset M_{n-1}$ , или повышающим градуировку для коцепного комплекса , $d(M_{n})\subset M_{n+1}$ .

Одним из основных понятий гомологической алгебры является цепной комплекс. Цепные комплексы возникают в различных разделах математики: в алгебраической топологии, коммутативной алгебре, алгебраической геометрии. Изучение общих свойств комплексов — одна из основных задач гомологической алгебры.

Резольвента

Проективной резольвентой модуля $A$ , называется левый комплекс $\ldots \longrightarrow X_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}X_{n-1}\longrightarrow \ldots {\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}X_{0}{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}A\longrightarrow 0$ , в котором все $X_{n}$ проективны и гомологии которого равны нулю, кроме нулевых.

Проективные резольвенты используются для вычисления функторов _n ( A , C ) и Ext ⁿ ( A , C ). Резольвенты возникли в алгебраической топологии для вычисления гомологий топологического произведения по гомологиям сомножителей по формуле Кюннета.