Interested Article - Математические обозначения

Математические обозначения («язык математики») — графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных математических идей и суждений в человеко-читаемой форме. Составляет (по своей сложности и разнообразию) значительную долю неречевых знаковых систем , применяемых человечеством. В данной статье описывается общепринятая международная система обозначений, хотя различные культуры прошлого имели свои собственные, и некоторые из них даже имеют ограниченное применение до сих пор.

Отметим, что математические обозначения, как правило, применяются совместно с письменной формой какого-то из естественных языков .

Помимо фундаментальной и прикладной математики, математические обозначения имеют широкое применение в физике , а также (в неполном своём объёме) в инженерии , информатике , экономике , да и вообще во всех областях человеческой деятельности, где применяются математические модели . Различия между собственно математическим и прикладным стилем обозначений будут оговорены по ходу текста.

Общие сведения

Система складывалась, наподобие естественных языков, исторически (см. история математических обозначений ), и организована наподобие письменности естественных языков, заимствуя оттуда также многие символы (прежде всего, из латинского и греческого алфавитов). Символы, также как и в обычной письменности, изображаются контрастными линиями на равномерном фоне (чёрные на белой бумаге, светлые на тёмной доске, контрастные на мониторе и т. д.), и значение их определяется в первую очередь формой и взаимным расположением. Цвет во внимание не принимается и обычно не используется, но, при использовании букв , такие их характеристики как начертание и даже гарнитура , не влияющие на смысл в обычной письменности, в математических обозначениях могут играть смыслоразличающую роль.

Структура

Обыкновенные математические обозначения (в частности, так называемые математические формулы ) пишутся в общем в строку слева направо, однако не обязательно составляют последовательную строку символов. Отдельные блоки символов могут располагаться в верхней или нижней половине строки, даже в случае, когда символы не перекрываются вертикалями. Также, некоторые части располагаются целиком выше или ниже строки. С грамматической же стороны почти любую «формулу» можно считать иерархически организованной структурой типа дерева .

Стандартизация

Математические обозначения представляют систему в смысле взаимосвязи своих компонент, но, в целом, не составляют формальную систему (в понимании самой математики). Они, в сколь-нибудь сложном случае, не могут быть даже разобраны программно . Как и любой естественный язык, «язык математики» полон несогласованных обозначений, омографов , различных (в среде своих носителей) трактовок того, что́ считать правильным и т. п. Нет даже сколь-нибудь обозримого алфавита математических символов, и в частности оттого, что не всегда однозначно решается вопрос, считать ли два обозначения разными символами или же разными написаниями одного символа.

Некоторая часть математических обозначений (в основном, связанная с измерениями ) стандартизована в ISO 31-11 , однако в целом стандартизация обозначений скорее отсутствует.

Элементы математических обозначений

Числа

Для записи целых чисел как правило применяется десятичная система счисления с арабскими цифрами . Подряд записанная строка цифр интерпретируется как число; возможные исключения оговорены .

При необходимости применить систему счисления с основанием , меньшим десяти, основание записывается в нижний индекс: 20003 8 . Системы счисления с основаниями, бо́льшими десяти, в общепринятой математической записи не применяются (хотя, разумеется, изучаются самой наукой), поскольку для них не хватает цифр. В связи с развитием информатики , стала актуальной шестнадцатеричная система счисления , в которой цифры от 10 до 15 обозначаются первыми шестью латинскими буквами от A до F. Для обозначения таких чисел в информатике используется несколько разных подходов, но в математику они не перенесены.

Десятичная дробь употребляется для обозначения вещественных чисел в прикладных областях (означая, как правило, приближённое значение, что особо не оговаривается). В математике, если нецелое рациональное число оказалось кратным отрицательной степени десяти , то оно также может быть записано десятичной дробью . Вид разделителя целой и дробной частей ( точка или запятая ) зависит от традиции, принятой в используемом языке.

В приложениях очень большие или очень малые (по абсолютной величине ) часто записываются в экспоненциальной записи : . Иногда (особенно вычислители ) вместо «умножить на десять в степени» пишут букву «E», то есть , но в большинстве областей (включая «чистую» математику) такая запись не употребляется.

Математика же стремится более к точности, чем к лёгкости обозначений, и поэтому нужное число по мере возможности будет , нежели приближённо.

Атомарные символы

Из буквенных символов употребляются, в основном, латинские и греческие буквы. Регистр важен. Латинские буквы « I » (прописное «и») и « l » (строчное «эл») в прямом начертании пишутся с засечками , дабы не путались с вертикальной чертой «|» и друг с другом, и вообще стремятся использовать начертания, как можно меньше похожие на другие используемые символы. Готические буквы считаются отдельными буквами. В принципе, никаких ограничений на используемые алфавиты нет.

Также можно считать атомарными слова, записанные латинскими буквами, — общепринятые обозначения некоторых функций и операторов, например «log» (на письме они не разбиваются пробелами, не переносятся и т. д.); см. список математических аббревиатур . Такие слова записываются прямым (не курсивным ) шрифтом строчными буквами (за исключением, возможно, первой буквы, которая может быть прописной ). Существуют также диграфы , состоящие из нелатинских символов.

Не стоит использовать символы вроде «Ȉ» (английское «ай» с точками), так как подобные символы могут быть легко перепутаны с производными ( ).

Надстрочные и подстрочные знаки

Скобки, подобные им символы и разделители

Круглые скобки «()» используются:

Квадратные скобки «[]» нередко применяются в значении группировки, когда приходится использовать много пар скобок. В таком случае они ставятся снаружи и (при аккуратной типографике ) имеют бо́льшую высоту, чем скобки, стоя́щие внутри.

Квадратные «[]» и круглые «()» скобки используются при обозначении закрытых и открытых промежутков соответственно.

Фигурные скобки «{}» используются, как правило, для , хотя в отношении них справедлива та же оговорка, что и для квадратных скобок. Левая "{" и правая «}» скобки могут использоваться по отдельности; их назначение описано .

Символы угловых скобок « » при аккуратной типографике должны иметь тупые углы и тем отличаться от схожих , имеющих прямой или острый угол. На практике же на это не следует надеяться (особенно, при ручной записи формул) и различать их приходится при помощи интуиции.

Часто используются пары симметричных (относительно вертикальной оси) символов, в том числе и отличных от перечисленных, для выделения куска формулы. Назначение парных скобок описано .

Запятая ", " используется в качестве разделителя. При применении запятой, как в десятичной дроби (например, в русской традиции), пробелы вокруг запятой не ставятся. Во всех иных случаях (например, при применении запятой, как ) справа от запятой делается небольшой пробел, слева же пробел обычно не ставится.

Двоякую роль играет символ вертикальной черты «|» . В зависимости от контекста, он может являться как скобкой (например, абсолютная величина , определитель матрицы ), так и разделителем в различных конструкциях или же обозначением начала/конца матрицы .

Индексы

В зависимости от расположения различают верхние и нижние индексы. Верхний индекс может означать (но необязательно означает) возведение в степень , об остальных случаях использования .

В отличие от обыкновенной типографики , в математике нередко в качестве «индекса» выступает целое выражение, нередко содержащие дроби и собственные индексы, что приводит к измельчению символов и вообще немало усложняет визуальное распознавание формул.

Взаимное расположение символов

Итак, основные модели расположения символов:

  • в строку;
  • в несколько связанных строк (см. );
  • внутри (возможны случаи расположения как в один ряд, так и в несколько);
  • строка символов сверху или снизу от расположенного в строке символа (обычно увеличенного размера);
  • строка символов меньшей высоты ( кегля ) пишется справа вверху или справа внизу от символа большей высоты (см. );
  • две подстроки друг над другом, разделённые горизонтальным прямым отрезком — значение см. в этой статье ).

Синтаксис

Константы

Константы — величины, фиксированные уже на момент записи формулы, в частности числовые. О записи целых чисел было сказано , однако если оно содержит слишком много цифр, то может быть представлено в виде арифметического выражения, например, .

Если записываемое число заведомо является рациональным , то в математике в подавляющем большинстве случаев оно будет записано точно, то есть, как правило, в виде простой дроби (если число нецело).

Алгебраическое число , при возможности, будет записано через корни. Аналогично, любое другое число может быть записано в виде выражения, дающего его точное значение.

Комплексное число может быть записано как , где a и b — вещественные константы, но может быть применена запись через аргумент и модуль комплексного числа.

При необходимости вокруг записи константы ставятся скобки, и, в общем, запись констант в виде выражений в чистой математике ничем не отличается от записи любых иных выражений.

Ряд математических констант имеют буквенные именные обозначения — см. число Пи ( ), число Эйлера e и ряд других . В науках, использующих математический аппарат, существует множество своих именованных и обозначаемых буквами констант. Например, см. Фундаментальные физические постоянные .

Переменные

В науках встречаются наборы величин, и любая из них может принимать или набор значений и называться переменной величиной (вариантой), или только одно значение и называться константой. В математике от физического смысла величины часто отвлекаются, и тогда переменная величина превращается в отвлечённую (или числовую) переменную, обозначаемую каким-нибудь символом, не занятым специальными обозначениями, о которых было сказано выше.

Переменная X считается заданной, если указано множество принимаемых ею значений {x} . Постоянную же величину удобно рассматривать как переменную, у которой соответствующее множество {x} состоит из одного элемента.

Функции и операторы

В математике не усматривается существенного различия между оператором ( унарным ), отображением и функцией .

Однако, подразумеваются, что если для записи значения отображения от заданных аргументов необходимо указывать , то символ оного отображения обозначает функцию, в иных случаях скорее говорят об операторе. Символы некоторых функций одного аргумента употребляются и со скобками и без. Многие элементарные функции , например или , но элементарные функции всегда называются функциями .

Операторы и отношения (унарные и бинарные)

Бинарные операторы и отношения записываются в инфиксной форме, если для них не применяется синтаксис функций. Унарные операторы записываются как попало; в алгебре же обычно знак оператора ставится слева от аргумента (префиксная запись). Оператор дифференцирования записывается штрихом (обычно подразумевается дифференцирование по переменной x или просто по единственному аргументу функции) или точкой наверху (обычно подразумевается дифференцирование по переменной t времени ).

Об использовании арифметических операций и элементарных , а также некоторых иных «стандартных» функций см. статью « математическая формула ».

Функции

Функция может упоминаться в двух смыслах: как выражение её значения при заданных аргументах (пишется и т. п.) или собственно как функция. В последнем случае ставится только символ функции, без скобок (хотя зачастую пишут как попало).

Имеется много обозначений общепринятых функций, используемых в математических работах без дополнительных пояснений. В противном случае функцию надо как-то описывать и в фундаментальной математике она принципиально не отличается от и точно также обозначается произвольной буквой. Для обозначения функций-переменных наиболее популярна буква f , также часто применяются g и большинство греческих.

Предопределённые (зарезервированные) обозначения

Однако, однобуквенным обозначениям может быть, при желании, придан другой смысл. Например, буква i часто используется как обозначение индекса в контексте, где комплексные числа не применяются, а буква π может быть использована как переменная, например, в комбинаторике . Также, символы теории множеств (такие как « » и « ») и исчисления высказываний (такие как « » и « ») могут быть использованы в другом смысле, обычно как отношение порядка и бинарные операции соответственно.

Индексирование

Индексирование графически изображается (обычно нижними, иногда и верхними) и является, в некоторым смысле, способом расширить информационное наполнение переменной. Однако, употребляется оно в трёх несколько различных (хотя и перекрывающихся) смыслах.

Собственно номера

Можно иметь несколько разных переменных, обозначая их одной буквой, аналогично использованию . Например: . Обычно они связаны какой-то общностью, но вообще это не обязательно.

Более того, в качестве «индексов» можно использовать не только числа, но и любые символы. Однако, когда в виде индекса пишется другая переменная и выражение, данная запись интерпретируется как «переменная с номером, определяемым значением индексного выражения».

В тензорном анализе

В линейной алгебре , тензорном анализе , дифференциальной геометрии с индексами (в виде переменных) записываются тензорные величины, причём их количество обозначает ранг тензора. Также употребляются и верхние индексы.

В записи произведения тензорных величин интерпретация зависит от совпадения используемых индексных переменных. Если они все различны, то подразумевается тензорное произведение . Если одна переменная встречается дважды (например: ), то по ней проводится свёртка . Возможна также запись типа след матрицы . Данное обозначение традиционно называют « суммированием по повторяющимся индексам », поскольку в фиксированном базисе именно так и выглядит.

Параметры

Конструкции с использованием зеркальных (парных) символов

Значения , отличные от указания последовательности операций (группировки). В случае многих аргументов (более одного) символом разделителя является запятая «,» , если не оговорено иное.

Круглые скобки «()»:

Квадратные скобки «[]»:

При отсутствии специальных символов скобки « » могут использоваться для обозначения целой части числа .

Фигурные скобки «{}»:

  • (произвольное количество аргументов через запятую, или же «{ выражение | условие }»);
  • антикоммутатор (2 аргумента).

Угловые скобки «〈〉»:

Палки "||" и двойные палки « »:

Множества и классы

Множество или класс может быть обозначено, как и другие объекты, в виде предопределённого обозначения, переменной (атомарным символом), в виде результата операции над множествами и т. п. Когда требуется построить множество или класс, используется конструкция « выражение условие » , обозначающее множество всех значений выражения, для которых условие истинно. Переменные, используемые внутри данного выражения, могут быть локальными.

Допустима также запись « условие » , где

  • x — локальная переменная (значения которой формируют искомое множество);
  • M — некоторое заранее определённое множество, которое переменная x пробегает.

Множество или класс можно записать и как перечисление: «{элемент}», «{элемент, элемент}» , «{элемент, элемент, элемент}» и т. п.

Символы, обозначающие операции над множествами, описаны в статье « Операции над множествами ».

Конструкции математической логики

Логические связки

Для записи логических выражений, составляемых из значений предикатов , бинарных отношений и т. п., используются логические связки. Бинарные связки записываются в инфиксной форме . Общеприняты:

  • конъюнкция «&» (также « », особенно в булевой логике );
  • дизъюнкция « » (символ « | », в отличие от программирования, в данном значении не употребляется);
  • импликация : « » (как содержательное утверждение), «→» (суждение формальной теории); в случае, когда против обыкновения посылка стоит справа, а следствие — слева, направление стрелки меняется: « », « »;
  • отрицание «¬» (унарная связка, употребляемая в префиксной форме ; многие символы бинарных отношений, особенно символ равенства и символ порядка, имеют разновидность со встроенным отрицанием, получаемым обычно перечёркиванием символа).

Пропозициональные константы, а также другие виды логических связок, общепринятых обозначений не имеют (кроме, возможно, области, собственно, математической логики).

« И » и « или » при записи уравнений

Та же самая конъюнкция при записи т. н. системы уравнений обычно обозначается непарной открывающейся фигурной скобкой "{".

Аналогично, дизъюнкция может обозначаться непарной открывающейся квадратной скобкой "[".

Также существует конструкция, аналогичная тернарной условной операции в некоторых языках программирования:

Кванторы

Вывод

Неформальные обозначения

Перевод в неграфическую форму

Устное прочтение

Электронное кодирование

Наиболее распространённой системой оного является TeX и его расширения.

См. также

Примечания

  1. Фихтенгольц Г.М. Глава первая: теория пределов. // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е изд.. — «Наука», 1969. — Т. 1. — С. 43. — 608 с. — 100 000 экз.
  2. / Гл. ред. Ю. В. Прохоров . — « Советская энциклопедия », 1988. — С. . — 847 с. — 150 000 экз.
  3. В Википедии для математической записи применяется LaTeX , использование которого документировано на странице Википедия:Формулы .
Источник —

Same as Математические обозначения