Алгебраи́ческое число́ над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$ — элемент алгебраического замыкания поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$ , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю ) с коэффициентами из ${\displaystyle \mathbb {F} }$ .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел , то есть ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {Q} }$ , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {A} }$ . Это множество является подполем поля комплексных чисел .

Связанные определения

Вещественное или комплексное число , не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным .

Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

Если ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраическое число, то среди всех многочленов с коэффициентами из поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$ , имеющих ${\displaystyle \alpha }$ своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени и со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным , или каноническим , многочленом для алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением его коэффициентов на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами). Степень канонического над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ многочлена для ${\displaystyle \alpha }$ называется степенью алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ .

Другие корни канонического над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ многочлена ${\displaystyle \alpha }$ называются сопряжёнными (по Галуа ) с ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ .

Минимальный над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ многочлен по определению является неприводимым над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ .

Высотой алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем ${\displaystyle \alpha }$ своим корнем. Эта величина также называется высотой самого́ неприводимого многочлена.

Примеры

• Рациональные числа , и только они, являются алгебраическими числами первой степени.
• Мнимая единица ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ являются алгебраическими числами второй степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно ${\displaystyle -i}$ и ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ .
• Гауссовы целые числа , степень у них также вторая.
• Золотое сечение как корень многочлена ${\displaystyle x^{2}-x-1.}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}}$ — алгебраическое число 3-й степени, корень многочлена ${\displaystyle x^{3}+3x-2}$ . Сопряжённые числа равны ${\displaystyle {\tfrac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\tfrac {-1\mp {\sqrt {3}}i}{2}}{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}}$ .
• Для любого натурального числа ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{3}}}$ является алгебраическим числом степени ${\displaystyle n}$ .

Свойства

• Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел — алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле .
  • Следствие: комплексное число ${\displaystyle a+bi}$ является алгебраическим тогда и только тогда, когда обе его компоненты ${\displaystyle a,b}$ — алгебраические числа.
• Множество алгебраических чисел счётно , а следовательно, его мера равна нулю.
• Множество алгебраических чисел плотно на комплексной плоскости .
  • Однако дополнение комплексной плоскости к множеству алгебраических чисел является линейно связным.
• Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто .
• Для всякого алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ существует такое натуральное ${\displaystyle N}$ , что ${\displaystyle N\alpha }$ — целое алгебраическое число .
• Алгебраическое число ${\displaystyle \alpha }$ степени ${\displaystyle n}$ имеет ${\displaystyle n}$ различных сопряжённых чисел (включая себя).
• ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ сопряжены тогда и только тогда , когда существует автоморфизм поля ${\displaystyle \mathbb {A} }$ , переводящий ${\displaystyle \alpha }$ в ${\displaystyle \beta }$ .
• Любое алгебраическое число вычислимо , а следовательно, арифметично .

Числа, выразимые в радикалах

Любое число, которое можно получить из целых чисел при помощи четырёх действий арифметики (сложения, вычитания, умножения, деления), а также извлечением корня целой степени, является алгебраическим. Так, например, алгебраическим будет число ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1998}{{\sqrt[{19}]{98}}-{\sqrt[{199}]{8}}}}}}$ , а также числа вида ${\displaystyle Q_{1}^{Q_{2}}+Q_{3}^{Q_{4}}+\ldots +Q_{n}^{Q_{n+1}}}$ , где ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}\dots Q_{n+1}}$ — рациональные числа .

Однако не все алгебраические числа можно записать при помощи радикалов. Так, например, согласно теореме Абеля — Руффини многочлены пятой степени и выше с целыми коэффициентами, могут быть неразрешимы в радикалах. Корни таких многочленов являются алгебраическими числами, которые невозможно построить из целых четырьмя арифметическими действиями и извлечением корней .

История

Название алгебраические и трансцендентные числа предложил Эйлер в 1775 году. В то время ещё не была известна трансцендентность ни одного известного числа . Алгебраические поля, отличные от рационального, стал рассматривать Гаусс . При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел , то есть чисел вида ${\displaystyle a+bi}$ , где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — целые числа .

Продолжение исследований Гаусса привело во второй половине XIX века к построению общей теории алгебраических чисел . Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида ${\displaystyle a+b\rho }$ , где ${\displaystyle \rho =(-1+i{\sqrt {3}})/2}$ — кубический корень из единицы , а ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел.

Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга , введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле , Кронекера , Гильберта и других теория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарёв ( теория идеалов ), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

Примечания

Ссылки

• Фельдман, Н. от 19 сентября 2004 на Wayback Machine // Квант , № 7, 1983.
• Нестеренко Ю. В. от 12 июня 2017 на Wayback Machine // Конспект курса лекций, читаемых на мехмате МГУ .
• Mazur B. : от 7 мая 2016 на Wayback Machine (PDF; 272 kB) (англ.) .