Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство ) в изначальном смысле — это пространство , свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность , равную 3, то есть является трёхмерным .

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением ; либо метрическое пространство , соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством . В этой статье за исходное будет взято первое определение.

${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ; также часто используется обозначение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на парах векторов которого задана вещественнозначная функция ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ),}$ обладающая следующими тремя свойствами:

• Линейность: для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {u,v,w} }$ и для любых вещественных чисел ${\displaystyle a,b}$ справедливы соотношения ${\displaystyle (a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)} }$ ;
• Симметричность: для любых векторов ${\displaystyle u,v}$ верно равенство ${\displaystyle \mathbf {(u,v)=(v,u)} ;}$
• Положительная определённость: ${\displaystyle \mathbf {(u,u)} \geqslant 0}$ для любого ${\displaystyle u,}$ причём ${\displaystyle \mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.}$

Аффинное пространство , соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством .

Пример евклидова пространства — координатное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$ где скалярное произведение определяется формулой ${\displaystyle \mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора ${\displaystyle u}$ определяется как ${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}}$ и обозначается ${\displaystyle |\mathbf {u} |.}$ Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что ${\displaystyle |a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,}$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ определяется как ${\displaystyle \arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .}$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства ( евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},}$ то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от ${\displaystyle \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} }$ был определён, необходимо и достаточно , чтобы выполнялось неравенство ${\displaystyle \left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.}$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского . Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника : ${\displaystyle \mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .}$ Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция ${\displaystyle d\mathbf {(x,y)} ,}$ или ${\displaystyle \mathbf {|x-y|} ,}$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой ). В частности, расстояние между элементами (точками) ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ координатного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ задаётся формулой ${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис , состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ и ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле ${\displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.}$ В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением , можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, ${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство изоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора ${\displaystyle x}$ на подпространство ${\displaystyle U}$ — это вектор ${\displaystyle h,}$ ортогональный ${\displaystyle U,}$ такой что ${\displaystyle x}$ представим в виде ${\displaystyle u+h,}$ где ${\displaystyle u\in U.}$ Расстояние между концами векторов ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle x}$ является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора ${\displaystyle x}$ до подпространства ${\displaystyle U.}$ Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов .

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор ${\displaystyle x}$ евклидова пространства задаёт линейный функционал ${\displaystyle x^{*}}$ на этом пространстве, определяемый как ${\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).}$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной .

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя ). Пример движения — параллельный перенос на вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ , переводящий точку ${\displaystyle \mathbf {p} }$ в точку ${\displaystyle \mathbf {p+v} }$ . Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование . Ортогональные преобразования n -мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O( n ) . Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n , удовлетворяющих условию ${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=E}$ , где ${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}}$ — транспонированная матрица, а ${\displaystyle E}$ — единичная матрица .

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• ${\displaystyle \mathbb {E^{1}} }$ размерности ${\displaystyle 1}$ ( вещественная прямая — к примеру, числовая ось );
• ${\displaystyle \mathbb {E^{2}} }$ размерности ${\displaystyle 2}$ ( евклидова плоскость );
• ${\displaystyle \mathbb {E^{3}} }$ размерности ${\displaystyle 3}$ ( евклидово трёхмерное пространство ).

Более абстрактный пример:

• пространство ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{n}}$ вещественных многочленов , степени которых не превосходят n , со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ ).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

• правильные многомерные многогранники (например, N -мерный куб , N -мерный октаэдр , N -мерный тетраэдр );
• гиперсфера ;
• гипертор .

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных , то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства .

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства . Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства . Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике , ведёт к определению гильбертова пространства ; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М. : Добросвет, МЦНМО , 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8 .
• Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Наука , 1986. — 304 с.
• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М. : Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.