Interested Article - Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство ) в изначальном смысле — это пространство , свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность , равную 3, то есть является трёхмерным .

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением ; либо метрическое пространство , соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством . В этой статье за исходное будет взято первое определение.

-мерное евклидово пространство обычно обозначается ; также часто используется обозначение , когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на парах векторов которого задана вещественнозначная функция обладающая следующими тремя свойствами:

  • Линейность: для любых векторов и для любых вещественных чисел справедливы соотношения ;
  • Симметричность: для любых векторов верно равенство
  • Положительная определённость: для любого причём

Аффинное пространство , соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством .

Пример евклидова пространства — координатное пространство состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел где скалярное произведение определяется формулой

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора определяется как и обозначается Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами и определяется как Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства ( евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от был определён, необходимо и достаточно , чтобы выполнялось неравенство Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского . Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника : Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция или задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой ). В частности, расстояние между элементами (точками) и координатного пространства задаётся формулой

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис , состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами и в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением , можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, -мерное евклидово пространство изоморфно со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора на подпространство — это вектор ортогональный такой что представим в виде где Расстояние между концами векторов и является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора до подпространства Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов .

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор евклидова пространства задаёт линейный функционал на этом пространстве, определяемый как Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной .

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя ). Пример движения — параллельный перенос на вектор , переводящий точку в точку . Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование . Ортогональные преобразования n -мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O( n ) . Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n , удовлетворяющих условию , где — транспонированная матрица, а единичная матрица .

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

  • размерности ( вещественная прямая — к примеру, числовая ось );
  • размерности ( евклидова плоскость );
  • размерности ( евклидово трёхмерное пространство ).

Более абстрактный пример:

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных , то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства .

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства . Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства . Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике , ведёт к определению гильбертова пространства ; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Примечания

  1. , с. 35.
  2. , с. 39.
  3. , с. 118.
  4. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 182
  5. Данный результат верен также для псевдоевклидовых и унитарных пространств, для гильбертовых пространств он более сложен и называется теоремой Рисса .

Литература

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М. : Добросвет, МЦНМО , 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8 .
  • Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Наука , 1986. — 304 с.
  • Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М. : Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.
Источник —

Same as Евклидово пространство