А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел , 8- мерная алгебра над полем вещественных чисел . Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {O} }$ , поскольку её элементы ( числа Кэли ) называются иногда октонионами или октавами .

Впервые рассмотрена в 1843 году , приятелем Уильяма Гамильтона , а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли .

Число Кэли — это линейная комбинация элементов ${\displaystyle \{1,i,j,k,l,il,jl,kl\}}$ . Каждая октава ${\displaystyle x}$ может быть записана в форме:

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

с вещественными коэффициентами ${\displaystyle x_{i}}$ . Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн .

Таблицы умножения

Таблица умножения элементов октавы:

Таблица (Кэли) умножения октонионов :

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Свойства

По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля .

Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной .

Для октониона ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$ операция определена равенством:

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl}$ .

Сопряжение удовлетворяет равенствам:

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$ и

${\displaystyle x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)).}$

Вещественная часть октониона ${\displaystyle x}$ определена равенством:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+x^{*})=x_{0}}$ ,

мнимая часть:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x-x^{*})}$ .

Норма октониона ${\displaystyle x}$ : ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$ ; ${\displaystyle \|x\|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$ . Из определения нормы следует, что октонион ${\displaystyle x\neq 0}$ обратим и

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$ .

Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.

Примечания

Литература

• Джон Баэс . от 4 марта 2016 на Wayback Machine // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.