Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы , состоящая из трёх точек и трёх дуг больших кругов , соединяющих попарно эти точки. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников . Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия .

Сторона сферического треугольника измеряется величиной опирающегося на неё центрального угла . Угол сферического треугольника измеряется величиной двугранного угла между плоскостями, в которых лежат стороны этого угла. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, а углы меньше π, называется эйлеровым ^:9 . Далее рассматриваются эйлеровы треугольники.

Свойства

• Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны ^:16 . В евклидовой геометрии такие треугольники являются подобными . В сферической геометрии любое преобразование подобия является изометрическим (то есть коэффициент подобия всегда равен единице), поэтому в сферической геометрии нет неравных подобных фигур (то есть фигур, переводящихся друг в друга преобразованием подобия).
• Полярным для данного сферического треугольника (ABC) называется такой сферический треугольник (A’B’C'), вершины которого A', B', C' являются полюсами по отношению к сторонам BC, CA, AB соответственно. При этом точки A и A', B и B', C и C' лежат по одну сторону относительно BC, CA, AB соответственно.
  • Для любого полярного треугольника выполняются следующие правила: ${\displaystyle K'=\pi -k}$ ; ${\displaystyle k'=\pi -K}$ , где угол ${\displaystyle K=\alpha ,\beta ,\gamma }$ и сторона ${\displaystyle k=a,b,c}$ .
  • Сферический треугольник, все стороны которого равны прямому углу, будет полярным к самому себе.
  • Полярный треугольник, построенный к полярному треугольнику для некоего сферического, совпадает с исходным.

• Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника : каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности ^:11 .

• Сумма всех сторон ${\displaystyle a+b+c}$ всегда меньше ${\displaystyle 2\pi }$ ^:11 .
  • Величина ${\displaystyle 2\pi -(a+b+c)}$ называется сферическим дефектом .

• Сумма углов сферического треугольника ${\displaystyle s=\alpha +\beta +\gamma }$ всегда меньше ${\displaystyle 3\pi }$ и больше ${\displaystyle \pi }$ ^:14—15 .
  • Величина ${\displaystyle s-\pi =\varepsilon }$ называется сферическим избытком или сферическим эксцессом .
  • Площадь сферического треугольника определяется по формуле ${\displaystyle S=R^{2}\varepsilon =R^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )}$ . Пропорциональность площади сферическому избытку следует из покрытия сферы тремя двуугольниками , образующими сферический треугольник. ^:44

• Если от двух углов сферического треугольника отнимем третий, получим угол, меньший ${\displaystyle \pi }$ ^:15 .
• В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два или три прямых или тупых угла.

Решение сферических треугольников

Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера . А чтобы решить косоугольный сферический треугольник, необходимо знать три его элемента. Для решения можно использовать следующие соотношения между ними ^:102—139 :

• Формула половины стороны и формула половины угла — при решении по трём сторонам и трём углам;
• Формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне;
• Теорема синусов и формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и противолежащему одной из них углу и по двум углам и противолежащей одному из них стороне.

Комментарии

Примечания

Литература

• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М. , 1995. (§ 1. Сферическая геометрия.)
• Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики. — Физматгиз, 1963. — Т. 4 (геометрия) . — С. 518—558 .

Ссылки

• Статья на Wolfram MathWorld