Interested Article - Пространство Лобачевского

Перспективная проекция додекаэдрального заполнения .
Четыре додекаэдра соприкасаются в каждом ребре, а восемь соприкасаются в каждой вершине, подобно кубам в кубическом заполнении *E ³*

Пространство Лобачевского , или гиперболическое пространство размерности $n$ — единственное полное односвязное $n$ -мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны , равной $-1$ . Обычно обозначается $\mathbb {H} ^{n}$ или ${\Lambda }^{n}$ . Двумерное пространство Лобачевского $\mathbb {H} ^{2}$ называется плоскостью Лобачевского .

Пространство Лобачевского является центральным объектом изучения геометрии Лобачевского и является одним из трёх пространств постоянной кривизны. Два других — евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ , имеющее нулевую кривизну, и сфера $S^{n}$ , имеющая единичную кривизну, — соответствуют евклидовой геометрии и геометрии Римана .

Модели гиперболического пространства

Пространство Лобачевского, которое независимо исследовали Николай Иванович Лобачевский и Янош Бойяи , является геометрическим пространством, аналогичным евклидову пространству , но в нём аксиома параллельности Евклида не выполняется. Вместо этого аксиома параллельности заменяется на следующую альтернативную аксиому (в пространстве размерности два):

Если дана какая-либо прямая L и точка P , не лежащая на прямой L , то существует по меньшей мере две различные прямые, проходящие через P , которые не пересекают L .

Отсюда вытекает теорема, что существует бесконечно много таких прямых, проходящих через P . Аксиома не определяет однозначно плоскость Лобачевского с точностью до движения , поскольку нужно задать постоянную кривизну K < 0 . Однако аксиома определяет плоскость с точностью до гомотетии , то есть с точностью до преобразований, которые без поворота меняют расстояния на некоторый постоянный множитель. Если можно выбрать подходящий масштаб длины, то можно предположить без потери общности, что K = −1 .

Можно построить модели пространств Лобачевского, которые могут быть вложены в плоские (то есть евклидовы) пространства. В частности, из существования модели пространства Лобачевского в евклидовом вытекает, что аксиома параллельности логически независима от других аксиом евклидовой геометрии.

Существует несколько важных моделей пространства Лобачевского — модель Клейна , гиперболоидная модель, модель Пуанкаре в шаре и модель Пуанкаре в верхней полуплоскости. Все эти модели имеют одну и ту же геометрию в том смысле, что любые две из них связаны преобразованием, которое сохраняет все геометрические свойства описываемого ими гиперболического пространства.

Гиперболоидная модель

Гиперболоидная модель реализует пространство Лобачевского как гиперболоид в $\mathbb {R} ^{n+1}=\{(x_{0},\dots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=0,1,...,n\}$ . Гиперболоид является геометрическим местом $\mathbb {H} ^{n}$ точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.

В этой модели прямая (то есть, по сути, геодезическая ) — это кривая, образованная пересечением $\mathbb {H} ^{n}$ с плоскостью, проходящей через начало координат в $\mathbb {R} ^{n+1}$ .

Гиперболоидная модель тесно связана с геометрией пространства Минковского . Квадратичная форма

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2},

которая определяет гиперболоид, позволяет задать соответствующую билинейную форму

B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}.

Пространство $\mathbb {R} ^{n+1}$ , снабжённое билинейной формой B , является ( n +1)-мерным пространством Минковского $\mathbb {R} ^{n,1}$ .

Можно задать «расстояние» на гиперболоидной модели, определив расстояние между двумя точками x и y на $\mathbb {H} ^{n}$ как

d(x,y)=\operatorname {arch} B(x,y).

Эта функция является метрикой, так как для неё выполнены аксиомы метрического пространства . Она сохраняется под действием ортохронной группы Лоренца O ⁺ ( n ,1) на $\mathbb {R} ^{n,1}$ . Следовательно, ортохронная группа Лоренца действует на $\mathbb {H} ^{n}$ как группа автоморфизмов , сохраняющих расстояние, то есть движений .

Модель Клейна

Альтернативной моделью геометрии Лобачевского является определённая область в проективном пространстве . Квадратичная форма Минковского Q определяет подмножество $U^{n}\subset \mathbb {R} \mathbf {P} ^{n}$ , заданное как множество точек, для которых $Q(x)>0$ в однородных координатах x . Область U ⁿ является моделью Клейна пространства Лобачевского.

Прямыми в этой модели являются открытые отрезки объемлющего проективного пространства, которые лежат в U ⁿ . Расстояние между двумя точками x и y в U ⁿ определяется как

d(x,y)=\operatorname {arch} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}\right).

Это расстояние вполне определено на проективном пространстве, поскольку число ${\tfrac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}$ не меняется при изменении всех координат на один и тот же множитель (с точностью до которого и определены однородные координаты).

Эта модель связана с гиперболоидной моделью следующим образом. Каждая точка $x\in U^{n}$ соответствует прямой L _x через начало координат в $\mathbb {R} ^{n+1}$ по определению проективного пространства. Эта прямая пересекает гиперболоид $\mathbb {H} ^{n}$ в единственной точке. Обратно: через любую точку на $\mathbb {H} ^{n}$ проходит единственная прямая, проходящая через начало координат (что есть точка в проективном пространстве). Это соответствие определяет биекцию между U ⁿ и $\mathbb {H} ^{n}$ . Это изометрия, поскольку вычисление d ( x , y ) вдоль $Q(x)=Q(y)=1$ воспроизводит определение расстояния в гиперболоидной модели.

Модель Пуанкаре в шаре

Имеются две тесно связанные модели геометрии Лобачевского в евклидовой: модель Пуанкаре в шаре и модель Пуанкаре в верхней полуплоскости.

Модель шара возникает из стереографической проекции гиперболоида в $\mathbb {R} ^{n+1}$ в гиперплоскость $\{x_{0}=0\}$ . Подробнее: пусть S будет точкой в $\mathbb {R} ^{n,1}$ с координатами (−1,0,0,…,0) — южным полюсом для стереографической проекции. Для каждой точки P на гиперболоиде $\mathbb {H} ^{n}$ пусть P ^∗ будет единственной точкой пересечений прямой SP с плоскостью $\{x_{0}=0\}$ .

Это устанавливает биективное отображение $\mathbb {H} ^{n}$ в единичный шар

B^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\}

в плоскости { x ₀ = 0}.

Геодезические в этой модели являются полуокружностями , перпендикулярными границе сферы B ⁿ . Изометрии шара образуются сферическими инверсиями относительно гиперсфер, перпендикулярных границе.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости

Модель верхней полуплоскости получается из модели Пуанкаре в шаре при применении инверсии с центром на границе модели Пуанкаре B ⁿ (см. выше) и радиусом, равным удвоенному радиусу модели.

Это преобразование отображает окружности в окружности и прямые (в последнем случае — если окружность проходит через центр инверсии) — и, более того, это конформное отображение . Следовательно, в модели верхней полуплоскости геодезическими являются прямые и (полу)окружности, перпендикулярные границе гиперплоскости.

Гиперболические многообразия

Согласно , любое полное односвязное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны $-1$ изометрично пространству Лобачевского $\mathbb {H} ^{n}$ . В частности, универсальное накрывающее любого полного связного замкнутого риманова многообразия кривизны $-1$ , то есть замкнутого , изометрично пространству $\mathbb {H} ^{n}$ . Более того, любое такое многообразие изометрично факторпространству $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$ пространства Лобачевского по решетке $\Gamma$ без кручения в его группе изометрий SO ⁺ ( n ,1) , которая изоморфна фундаментальной группе исходного пространства.

Представление гиперболической поверхности в виде факторпространства $\mathbb {H} ^{2}/\Gamma$ плоскости Лобачевского по её фундаментальной группе называется её фуксовой моделью . Аналогичная конструкция для трёхмерных гиперболических пространств связана с понятием клейновых групп .

Римановы поверхности

Двумерные гиперболические многообразия можно также понимать как римановы поверхности . Согласно теореме об униформизации , любая риманова поверхность является эллиптической , параболической , или гиперболической .

См. также

Примечания

Это выражение похоже на хордальную метрику на сфере, в которой выражение аналогично, но вместо гиперболических функций используются тригонометрические.

Литература

Norbert A'Campo, Athanase Papadopoulos. Notes on hyperbolic geometry // Strasbourg Master class on Geometry (англ.) . — Zürich: European Mathematical Society (EMS), 2012. — Vol. 18. — P. 1–182. — (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics). — ISBN 978-3-03719-105-7 . — doi : .
John G. Ratcliffe. (англ.) . — New York, Berlin: Springer-Verlag, 1994.
William F. Reynolds. Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid (англ.) // American Mathematical Monthly . — 1993. — Iss. 100 . — P. 442–455 .
Joseph A. Wolf. (англ.) . — 1967. — P. 67. Перевод:
- Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. — М. : «Наука», 1982.